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Beitrag |
    
Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 17:54: | 
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Es gibt drei verschiedene Punkte A1,B1,C1,welche das Dreieck ABC jeweils zu einem Parallelogramm ergänzen. Das durch diese neuen Punkte gebildete Dreieck A1,B1,C1 kann nun entsprechend durch die Punkte A2,B2,C2 seinerseits jeweils wieder zu einem Parallelogramm ergänzt werden. Das entstehende Dreieck A2,B2,C2 wird wiederum durch die Punkte A3, B3, C3 jeweils zu einem Parallelogramm ergänzt. Meine Frage lautet,wie kann ich rechnerisch(d.h. mit einer Formel) z.B. A52,B52,C52 ausrechnen? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 22:49: |
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Eine interessante Aufgabe.
Ich nehme einem Umwege über die 3eckSeiten, als Vektoren betrachtet, auch die Buchstaben für die Eckpunkte seien Vektoren
Seite a: von B nach C: a = C - B
Seite b: von C nach A: b = A - C
Seite c: von A nach B: c = B - A
Die Bezeichnung der neuen Eckpunkte A1,B1,C1 wähle ich so, dass die Paralellogramme
ABA1C, ABCB1,ACBC1 sind
dann werden
A1= B - b = -A+B+C = -A0+B0+C0
B1= C - c = -B+A+C = -B0+A0+C0
C1= A - a = -C+A+B = -C0+A0+B0
und allgemein
Ai+1 = -Ai+Bi+Ci
Bi+1 = -Bi+Ai+Ci
Ci+1 = -Ci+Ai+Bi
damit ich mich nicht verrechne, habe ich für einige Schritte dieser
Bildungsvorschrift Computerhilfe beansprucht
p0 ist der Anfangswert, die 3 3ecksPunktVektoren A,B,C,
p1...p8 die ersten 8 Anwendungen des Bildungsgesetztes.
Ich nehme an, Du kannst in den Zahlenwerten eine Gesetzmässigkeit entdecken
(*2+1,*2-1,*2+1,...), sie durch Vollständige Induktion beweisen,
und auch eine direkte Formel finden. (einwenig zurechtgerückte 2erPotenzen; getrennt nach geraden und ungerade indizes i)
>> alias(n(s)=[-s[1]+s[2]+s[3],s[1]-s[2]+s[3],s[1]+s[2]-s[3]])
>> p0:=[A,B,C]
[A, B, C]
>> p1:=n(p0)
[B - A + C, A - B + C, A + B - C]
>> p2:=n(p1)
[3 A - B - C, 3 B - A - C, 3 C - B - A]
>> p3:=n(p2)
[3 B - 5 A + 3 C, 3 A - 5 B + 3 C, 3 A + 3 B - 5 C]
>> p4:=n(p3)
[11 A - 5 B - 5 C, 11 B - 5 A - 5 C, 11 C - 5 B - 5 A]
>> p5:=n(p4)
[11 B - 21 A + 11 C, 11 A - 21 B + 11 C, 11 A + 11 B - 21 C]
>> p6:=n(p5)
[43 A - 21 B - 21 C, 43 B - 21 A - 21 C, 43 C - 21 B - 21 A]
>> p7:=n(p6)
[43 B - 85 A + 43 C, 43 A - 85 B + 43 C, 43 A + 43 B - 85 C]
>> p8:=n(p7)
[171 A - 85 B - 85 C, 171 B - 85 A - 85 C, 171 C - 85 B - 85 A]
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Juhu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 12:03: |
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EINE WIRKLICH INTERESSANTE LÖSUNG |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 14:48: |
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Finale Lösung
 @Juhu: vermute mal, der Nick soll Freude ausdrücken, und ich muß "INTERESSANTE LÖSUNG" nicht als Ironie betrachten? |
Klaus Walter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 07:40: |
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Der Mathe-Lehrer von Sarah dankt für den kreativen, spannenden Beitrag zu dieser Aufgabe. |
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