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Helene
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 13:27: | 
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Hoffentlich kann mir ein Mathe-Kenner zur Lösung verhelfen.
Gegeben sei die Funktionenschar
ft(x)=ln(2-t*e^-x), t ungleich 0
Untersuchen Sie Kt auf gemeinsame Punkte mit der Koordinatenachse.
a) Das Monotonieverhalten von ft soll untersucht werden
b) Begründen Sie, jede Funktion ft besitzt eine Umkehrfunktion
Bestimmen sie davon den Funktionsterm, die maximale Darstellung und die Wertemenge
Und jetzt kommt der Knüller-Teil der Aufgabe:
Im 4. Feld schließen die X-Achse, K2, die Gerade x=1/e und die Gerade x=u mit 0<u<1/e eine Fläche mit Inhalt A(u) ein.
Es gilt die Beziehung 2-2e^-x>=x für 0<=x<=1/e
Schätzen Sie mit Hilfe der Beziehung A(u) nach oben ab.
Zeigen Sie damit, dass der rechtsseitige Grenzwert lim(u strebt gegen 0)A(u) existiert.
Ich kann mir zwar nicht vorstellen, dass jemand so eine Aufgabe lösen und erläutern kann, wäre aber schön!
Judy |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 09:15: |
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Hallo Judy
ich versuch's mal.
ft(x)=ln(2-te-x)
Schnittpunkte mit der y-Achse:
ft(0)=ln(2-te0)=ln(2-t) => S(0|ln(2-t))
Schnittpunkte mit der x-Achse:
ft(x)=0
<=> ln(2-te-x)=0 | da ln 1=0 gilt
<=> 1=2-te-x |+te-x
<=> 1+te-x=2 |-1
<=> te-x=1 |:t
<=> e-x=1/t |logarithmieren
=> -xlne=ln(1/t)
<=> -x=ln(1/t) |*(-1)
<=> x=-ln(1/t)
=> N(-ln(1/t)|0)
a) Monotonieverhalten
Für beliebige Argumente a und b mit b>a aus dem Definitonsbereich R gilt:
f(b)>f(a)
<=> ln(2-te-b)>ln(2-te-a)
<=> 2-te-b>2-te-a
<=> -te-b>te-a
1. Fall t>0:
-te-b>-te-a |: (-t)
<=>e-b<e-a
<=> -b<-a |*(-1)
<=> b>a
=> ft ist für t>0 monoton steigend
2. Fall t<0:
-te-b>-te-a |: (-t)
<=> e-b>e-a
<=> -b>-a |*(-1)
<=> b<a
=> ft it für t<0 monoton fallend.
b) Umkehrfunktion
ft(x)=ln(2-te-x)=y
x und y vertauschen und nach y auflösen
x=ln(2-te-y)
<=> ex=2-te-y |+te-y
<=> ex+te-y=2 |-ex
<=> te-y=2-ex |:t
<=> e-y=(2-ex)/t |logarithmieren
<=> -y=ln((1/t)(2-ex)) |*(-1)
<=> y=-ln((1/t)(2-ex)) ist die Umkehrfunktion
Knüller-Teil
A(u)=òu 1/ef2(x)dx
mit f2(x)=ln(2-2e-x) also
A(u)=òu 1/e[ln(2-2e-x)]dx
Wegen 2-2e-x>=x folgt
ln(2-2e-x)<=lnx (da lnx mit 0<x<1 negativ) und damit
A(u)<=òu 1/elnx dx=|xlnx-x|1/eu
=|(1/e)ln(1/e)-(1/e)-(ulnu-u)|
=|-(1/e)-(1/e)-ulnu+u|
=>A(u)<=|-(2/e)-ulnu+u|
Für u->0 folgt lim A(u)=2/e
Hoffe, das stimmt so und ich konnte dir damit ein wenig helfen.
Mfg K.
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