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Jens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 10:06: | 
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brauche dringen noch einmal eure hilfe! gegeben ist die integralfunktion f mit f(x)=integral von e bis x 1/tlnt dt. untersuche f auf nullstellen,monotonie,extrem-und wendestellen. untersuche entsprechend die funktion g mit g(x)=integral von 1/e bis x 1/tlnt dt. zeige,dass sich sowohl f als auch g in der form x=ln|lnx| darstellen lässt. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 21:24: |
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Hi Jens,
Um die ersten beiden Ableitungen der beiden Integralfunktionen
f(x) und g(x) zu ermitteln, brauchen wir keine Integrale zu berechnen .
Wir machen vom Satz Gebrauch, dass die Ableitung eines Integrals
nach seiner oberen Grenze gleich dem Integranden ist, dessen
Variable durch die variable obere Grenze des Integrals ersetzt wird,d.h.
der Integrand wird an der obern Grenze genommen .
Wir behandeln die beiden Fälle getrennt
:
A]
f(x) = int [1/ (t*ln t) * dt] ;untere Grenze e ,obere Grenze x;
nach dem erwähnten Hauptsatz kommt
f ´(x) = 1/ (x*ln x) , daraus
f´´(x) = - 1/ (x*ln x)^2 * [ lnx +1]
Nullstelle von f´(x) : keine
Nullstelle von f´´(x) : x = 1/e (Wendestelle wegen Vorzeichenwechsel von f´´)
B]
g(x) = int [1/ (t*ln t) * dt] ;untere Grenze 1/e ,obere Grenze x;
nach dem erwähnten Hauptsatz kommt
g ´(x) = 1/ (x*ln x) , daraus
g´´(x) = - 1/ (x*ln x)^2 * [ ln x +1]
Nullstelle von g´(x) : keine
Nullstelle von g´´(x) : x = 1/e (Wendestelle wegen Vorzeichenwechsel von g´´)
Ermittlung von f(x) und g(x) durch Integration
Unbestimmtes Integral
int [1 / (t*ln t) * dt] = ln(ln t) + C
daraus:
f(x) = ln(ln x) - ln(ln e) = ln(ln x)
einzige Nullstelle x = e
g(x) = ln(ln x) – ln (abs( ln (1/e)) = ln(ln x)
einzige Nullstelle x = e
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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