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die_Sarah
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 14:20: | 
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Hallo zusammen,
wir haben gerade mal Funktionen Diskussion angefangen und jetzt sollen wir eine Kurvenschar analysieren. Was ist denn da zu beachten, kann mir das bitte jemand mal vorrechnen.
x²+2tx+t²
f=------------
tx²+t³
Nullstellen, Asymptoten, Defintionsberecih, Hoch/Tief/Wendepunkte.
Wie geht das? Wer kann mir helfen diese Qual von Mathe zu überstehen?
Tschüssi / die_Sarah |
Corinna
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 13:37: |
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Hallo Sarah,
ich habe den Eindruck, Dein Problem liegt bei der Vorgehensweise. Die ganze Kurvendiskussion durchzuführen würde hier einfach zu viel Platz kosten. Ich will aber mal versuchen, Dir ein paar Tips zu geben. Probier es damit aus. Wenn Du dann Probleme hast, kannst Du Deine Fragen sicher etwas präziser formulieren. (Und wir können unsere Ergebnisse vergleichen.) Das macht die Sache dann leichter.
Also zunächst: Laß Dich nicht verwirren, weil da jetzt in der Funktion ein t steht. Deine Variable ist immer noch x. Was auch immer gerade gesucht ist, Du mußt immer ein x suchen für das etwas gilt. Unter Umständen ist Dein x eben von t abhängig. Aber das braucht Dich nicht zu stören.
Los gehts:
1. Definitionsbereich
Die Funktion ist ein Bruch, ist also überall definiert, außer an der Stelle wo der Nenner Null wird.
Also: Nenner nach 0 auflösen.
2. Nullstellen
Da die Funktion ein Bruch ist, reicht es den Zähler Null zu setzen. (Der Nenner darf ja nicht Null werden.)
Also x^2 + 2tx + t^2 = 0. Das ist eine quadratische Gleichung. Die solltest Du auflösen können.
3. Asymptoten
Nach meiner Rechnung hat der Nenner der Funktion keine Nullstellen. Das vereinfacht die Sache. Sonst müsste man nämlich noch das Verhalten an den Polstellen betrachten. So reicht es das Verhalten der Funktion für x->+-unendlich zu betrachten.
Hier wirds das erste Mal etwas knifflig, weil Du das x im Zähler und im Nenner stehen hast. Hier hilft ein Trick: Klammer in Zähler und Nenner die höchste Potenz aus. (In dem Fall x^2.) Ich zeigs Dir für den Nenner:
tx^2+t^3=x^2*(t+t^3/x^2).
Das gleiche machst Du für den Zähler. Dann kannst Du x^2 in Zähler und Nenner kürzen und die Grenzwertbetrachtung machen. Ich zeigs Dir wieder für den Nenner:
t^3/x^2 geht gegen Null für x gegen unendlich. (Klar, weil das x im Nenner steht.) Also geht der ganze Term (t+t^3/x^2) gegen t+0, also gegen t. Das gleiche machst Du wieder für den Zähler.
4. Extrema
Zunächst das Vorgehen: 1. Ableitung bilden und Null setzen. Das Ergebnis in die 2. Abl. einsetzen. Wenn das >0 ist, dann ist da ein Minimum, wenn das < 0 ist, dann ist da ein Maximum.
Am besten machst Du jetzt gleich die 1., 2. und 3. Abl. Die brauchst ja alle später noch.
Da es sich bei der Funktion um einen Bruch handelt, mußt Du die Quotientenregel anwenden. (Ich nehme an, daß Du die kennst, oder nachschlagen kannst.) Bei der Q.regel mußt Du vorallem höllisch mit den Vorzeichen aufpassen!
Hier noch ein Tip:
Im Zähler immer alle Klammern auflösen. Der vereinfacht sich immer relativ gut, wegen dem Minuszeichen in der Q.regel.
Den Nenner NIE ausklammern. Da kannst Du nämlich ab der 2. Abl. immer kürzen. (Der Nenner taucht ja auch immer wieder im Zähler auf durch die Q.regel.)
Und noch ein Tip: Beim Klammern auflösen gut aufpassen! Die Potenzen werden immer höher (das ist normal) und man vertut sich sehr leicht mit Vorzeichen.
5. Wendepunkte
Die Vorgehensweise sollte aus der normalen Kurvendiskussion bekannt sein, aber trotzdem: 2. Abl. Null setzen. Das Ergebnis in die 3. Abl. einsetzen und prüfen: Ist das was rauskommt ungleich Null? Wenn ja, dann ist es ein Wendepunkt. Wenn es gleich Null ist, dann ist es keiner.
Noch ein letzter Tip zur Quotientenregel: Im Laufe der Rechnung mußt Du u.a. den Nenner ableiten. Da hast Du dann immer ein "Polynom in Klammer hoch irgendwas". Da gibt es zum Ableiten die Kettenregel. (Innere Ableitung mal äußere Ableitung.)
Beispiel: (tx^2+t^3)^2 abgeleitet ergibt:
2*(tx^2+t^2) * 2tx
(Innere A.) * (äußere A.)
Ich hoffe, das hilft Dir etwas weiter. Viel Erfolg und nicht verzweifeln. Es sieht schlimmer aus als es ist.
Grüße
Corinna
P.S. Ich bin davon ausgegangen, daß Du eine einfache Funktion diskutieren kannst. |
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