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Gabi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 11:05: | 
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Hi, die Aufgabe bekomm ich nicht hin, ich find da einfach keinen Ansatz wie ich das berechnen soll, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gegeben sind zwei Funktionen f1 und f2 durch
f1(x)=e^(-a*x) und f2(x)=e^(b*x).
Gesucht sind a und b (element R+) so, dass für die Funktionsgraphen gilt:
1) Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich orthogonal.
2) Die Graphen beider Funktionen schließen mit der x- Achse eine Fläche mit möglichst kleinem Inhalt ein. |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 12:41: |
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Hallo Gabi
1) Schnittpunkte berechnen
f1(x)=f2(x)
<=> e-ax=ebx |:e-ax
<=> ebx/e-ax=1
<=> ebx-(-ax)=1
<=> eax+bx=1
<=> eax+bx=e0
=> ax+bx=0
=> x(a+b)=0
=> x=0
f1(0)=1=f2(0)
=> S(0/1) ist der Schnittpunkt
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich
orthogonal, wenn die Tangenten im Schnittpunkt senkrecht sind,
d.h. für die Steigungen der Tangenten mf1 und mf2 muss gelten mf1*mf2=-1
Steigung der Tangenten erhält man über die 1. Ableitung im Schnittpunkt:
f1'(x)=-ae-ax => mf1=f1'(0)=-ae0=-a
f2'(x)=bebx => mf2=f2'(0)=be0=b
=> -a*b=-1
<=> a*b=1
<=> a=1/b
Mfg K. |
Gabi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 16:32: |
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Ich versteh das nicht, da ist doch jetzt keine Lösung oder?
Gibt es für a und b keine Zahlen?
Ist da a=1/b die Lösung? |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 17:40: |
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Die erste Bedingung hat K. völlig richtig umgesetzt.
Die zweite Bedingung müsste noch ausgenutzt werden, das Problem ist, dass die Graphen nur im uneigentlichen Sinne eine Fläche mit der x-Achse einschließen.
Du müsstest also
Betrag [integral von -unendlich bis 0 e^(bx) dx + integral von 0 bis unendlich e^(-(1/b)x) dx ] minimieren.
F1(x)=-be^(-(1/b)x)
F2(x)=(1/b)e^(bx)
F1(inf)-F1(0)=0-b=-b //integral von 0 bis unendlich e^(-(1/b)x) dx
F2(0)-F2(-inf)=1/b //integral von -unendlich bis 0 e^(bx) dx
A(b)=Betrag(1/b-b)
1. Fall 0<b<1
A(b)=1/b-b
A'(b)=-1/b^2-1
A''(b)=2/b^3
A'(b)=0
-1/b^2-1=0
keine Lösung, da b positiv
2. Fall 1<=b<inf
A(b)=-1/b+b
A'(b)=1/b^2+1
A''(b)-1/b^3
auch hier keine Lösung
Minimal wird die "eingeschlossene" Fläche, wenn b unendlich groß wird!!!
Gruß
Peter
P.S.: Wer stellt solche Aufgaben :-) |
Gabi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 22:08: |
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Ich hab noch eine kleine Frage, da gibts ja jetzt ein Ergebnis für b, aber wie muss sich a verhalten? |
Peter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 12:10: |
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Also ein brauchbares Ergebnis ist das für b ja auch nicht. Am besten lässt man es bei dem Zusammenhang a=1/b, da der Flächeninhalt ja kein Minimum annimmt ("unendlich" ist keine reelle Zahl).
Gruß
Peter |
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