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Beitrag |
    
Marco
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 13:41: | 
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Hallo,
habe ein navigatorisches Problem mit der Schwerpunktsbestimmung eines Dreiecks, dessen Eckpunkte wie folgt lauten:
A: Nord 48° 59,100 Ost 009° 35,800
B: Nord 49° 02,900 Ost 009° 31,200
C: Nord 49° 02,100 Ost 009° 25,920
Wie kann ich hierbei rechnerisch den Punkt bestimmen, der von allen drei eckpunkten gleich weit entfernt ist (Schwerpunkt)? Zeichnerisch ist das kein Thema mit den Mittelsenkrechten, aber rechnerisch! Bin schon lange aus der Schule raus und habe so einiges vergessen.
Danke für die Hilfe, bitte allgemeine Formel mit Variablen auch angeben.
Grüße
Marco |
Carsten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 23:32: |
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Die Lage der Orte wurde offenbar angelehnt an Kugelkoordinaten angegeben,
zunächst also Umrechnung auf kartesische Koordinaten, wobei
r=Erdradius (als 6370 km angenommen)
q=Polarwinkel
f = Azimutwinkel
bedeuten
Dabei ist noch zu beachten, dass für die nördliche Breite gilt:
in Kugelkoordinaten:
Nordpol bei 0°
Äquator bei 90°
in den hier vorgegebenen Koordinaten:
Äquator bei 0°
Nordpol bei 90°
A: Nord 48° 59,100 Ost 009° 35,800
B: Nord 49° 02,900 Ost 009° 31,200
C: Nord 49° 02,100 Ost 009° 25,920
Außerdem scheint es, als ob die Winkel nicht in Grad-Minuten-Sekunden-Schreibweise gegeben sind,
sondern in gemischter Schreibweise aus Grad und Minuten und Dezimalbruchteilen von Minuten.
Es entspricht also z.B. der Punkt C:
49 +2.1/60 = 49.035°
9 + 25.92/60 = 9.432°
und damit in Polarkoordinaten:
q = 90°-49.035° = 40.965°
f = 9.432°
Analog lassen sich die Koordinaten von A und B umrechnen.
Die Transformationgleichungen
x=r sin(q) cos(f)
y=r sin(q) sin(f)
z=r cos(q)
führen auf die kartesischen Koordinaten (x,y,z):
A': (4121.8535; 696.9127; 4806.4058)
B': (4117.5401; 690.5175; 4811.0237)
C': (4119.7001; 684.3761; 4810.0520)
Legt man z.B. den Punkt B in den Ursprung eines neuen kartesischen Koordinatensystems,
so lauten die Koordinaten der beiden anderen Punkte (bezogen auf diesen Ursprung B):
A: (4.3134; 6.3951; -4.6179)
B: (0; 0; 0)
C: (2.1600; -6.1444; -0.9717)
Hier wird zunächst eine Ebene E bestimmt, die alle drei Punkte enthält:
E: v=r*(4.3134; 6.3951; -4.6179) + s*(2.1600; -6.1444; -0.9717) mit r, s € IR
Gesucht ist ein Punkt M, der in E liegt und von A, B und C jeweils den gleichen Abstand d hat.
Koordinaten von M seien M(x,y,z)
Es muss gelten:
(4.3134-x)^2 +(6.3951-y)^2 + (-4.6179-z)^2 = d^2
(0-x)^2 + (0-y)^2 + (0-z)^2 = d^2
(2.1600-x)^2 +(-6.1444-y)^2 + (-0.9717-z)^2 = d^2
Die obere Gleichung wird (2. binomische Formel) zu
80.8284 -8.6268*x + x^2 -12.7903*y + y^2 + 9.2358*z + z^2 = d^2
Die mittlere Gleichung ergibt sofort x^2+y^2+z^2=d^2, wird sie von der oberen abgezogen, ergibt sich
80.8284 -8.6267*x - 12.7903*y + 9.2358*z = 0
analog wird die untere Gleichung behandelt, so dass sich die Gleichung
43.3642 -4.3201*x +12.2889*y + 1.9434*z = 0
ergibt.
Zusammen mit der Gleihung x^2+y^2+z^2=d^2 und der Ebenengleichung, die aus
3 Komponenten besteht:
x=4.3134*r + 2.1600*s;
y=6.3951*r -6.1444*s;
z=-4.6179*r -0.9717*s;
ergibt sich das Gleichungssystem mit 6 Gleichungen für die 6 Unbekannten x, y, z, d, r, s:
x=4.3134*r + 2.1600*s;
y=6.3951*r -6.1444*s;
z=-4.6179*r -0.9717*s;
A: 80.8284 -8.6268*x - 12.7903*y + 9.2358*z = 0
C: 43.3642 -4.3201*x +12.2889*y + 1.9434*z = 0
B: x^2+y^2+z^2=d^2
(Lösung mit Computeralgebrasystem)
Es fällt die Lösung weg, bei der d negativ wird, und so ergibt sich als Lösung:
x=5.5875, y=-0.8251, z=-4.6753, d=7.3321
Also sind die Koordinaten von M:
M(5.5875; -0.8251; -4.6753)
Dies sind die Koordinaten von M bezüglich des Punktes B.
Bezüglich des ursprünglichen Koordinatenursprungs (im Erdmittelpunkt) ergibt sich durch
Addition der Koordinaten von B:
(x+4117.5401; y+690.5175; z+4811.0237)
(x',y',z')=(4123.1276; 689.6924; 4806.3484)
zurücktransformiert auf Kugelkoordinaten ergibt sich nach
r²=x²+y²+z², q = arccos(z/r), f=arctan(y/x)
r=6369.9955
q=41.015739°
f=9.496181°
zurückgeführt in die Form, in der die Koordinaten anfänglich angegeben wurden, macht das also:
M: Nord 48°59,056 Ost 9°29,771
Dieser Punkt hat von allen Punkten A, B und C den gleichen Abstand d=7.3321 km.
Genaugenommen sollte der hier errrechnete Umkreismittelpunkt wohl auf der Kugelschale (=Erdoberfläche) liegen, auf der A, B, und C liegen, und nicht in der Mitte eines Kreises durch A, B und C.
M läge dann ein Stück (6370-6369.9955=0.0045, also 4½m) unter der Erdoberfläche - dieser Unterschied wird aber bei dem relativ kleinen Abstand aller drei Punkte voneinander verglichen mit dem (Erd-)Kugelradius vernachlässigbar sein.
Bemerkung:
Der erhaltene Umkreismittelpunkt liegt außerhalb des Dreiecks, da das Dreieck stumpfwinklig ist.
Wenn vielleicht der Schwerpunkt gesucht ist (da dieser immer im Dreieck liegen muss), läuft die Berechung ganz anders ab. |
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