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Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 14:59: | 
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Einem Kreis vom Durchmesser d sei ein Rechteck einbeschrieben dessen Fläche genau einen Drittel des Quadrates über dem Durchmesser ausmacht. Wie lang sind seine Seiten ?
(Bitte genaue Lösung) |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 06:25: |
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Hi Pascal,
erstmal die flaeche des quadrates: d^2
somit ist die flaeche des rechtecks: 1/3d^2
die flaeche eines rechtecks allgemein: a*b
somit gilt fuer die seiten des rechtecks:
1. a*b=1/3d^2 -> 3*a*b=d^2
mit: das rechteck ist einbeschrieben ist doch gemeint das alle vier punkte des rechtecks auf dem kreisrand liegen, richtig?
dass bedeutet dann wiederum, das zwei sich gegenueberliegende Punkte den abstand d haben.
mit phytaghoras gilt:
2. a^2+b^2=d^2
zwei gleichungen, zwei unbekannte,
Viel Spass! |
3.141592
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 16:11: |
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Gleichung 1 umstellen:
b = d^3/3a
Einsetzen in Gleichung 2:
a^2 + (d^2/3a)^2 = d^2
a^2 + d^4/9a^2 = d^2
Mal 9a^2:
9a^4 + d^4 = d^2*9a^2
Umformen:
9a^4 - d^2*9a^2 + d^4 = 0
Substitution: z -> a^2
9z^2 - d^2*z + d^4 = 0
Lösungsformel für Quadratische Gleichung:
z1;2 = 1/18 * (9d^2 +- W(81d^4 - 36d^4))
= 1/18 * (9d^2 +- d^2 * 3*W(5))
= 1/6 * (3d^2 +- d^2 * W(5))
= 1/6 * d^2 * (3 +- W(5))
z1 = d^2/6 * (3 + W(5))
-> a1 = d * W(1/6 * (3 + W(5))
-> a2 = -d * W(1/6 * (3 + W(5))
z2 = d^2/6 * (3 - W(5))
-> a3 = d * W(1/6 * (3 - W(5))
-> a4 = -d * W(1/6 * (3 - W(5))
Die Lösungen a2 und a3 kommen nicht in Frage, da sie beide negativ sind. Also sind die gesuchten Seitenlängen:
a = a1 = 0.9342 * d
b = a3 = 0.3568 * d |
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