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cherrycake
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 15:41: | 
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Hallo zusammen!
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dieser Extremwertsaufgabe helfen könnte und die einzelnen Schritte erklärt.
Ein Austellungspavillon (ähnlich dem im Hof des Louvre in Paris) hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a=20m und der Körperhöhe h=20cm. Im Zuge einer Ausstellung soll darin eine (oben offene) drehzylindrische Plakatwand mit möglichst großer Fläche aufgestellt werde. Wieviel m² Wandfläche stehen höchstens zur Verfügung, wenn sowohl die Innen- als auch die Außenfläche plakatiert werden kann?
Danke im Voraus!  |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. September, 2002 - 17:32: |
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Hi,
h = 20 m (!)
Der obere Rand des Zylindermantels berührt die Seitenflächen der Pyramide längs der Höhen dieser Seitendreiecke. Also machen wir durch die Pyramide einen Parallelschnitt, wir sehen dann auch die Schnitte beider Körper, einerseits die Pyramide als gleichschenkeliges Dreick mit der Basis 20m und der Höhe 20m, den Zylinder als Rechteck, mit dem Radius x und der Höhe y. An der Spitze ist ein Dreieck mit der Basis 2x und der Höhe 20-y zu sehen. Dieses kleine Dreieck ist ähnlich dem großen Dreieck, und durch die Anwendung des Satzes, daß in ähnlichen Dreiecken das Verhältnis der Seiten gleich ist, gelangen wir zur Nebenbedingung:
20 : 20 = 2x : (20 - y)
2x = 20 - y .. NB
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Die Hauptbedingung ist, daß der Mantel eine maximale Oberfläche haben soll
HB.: M = 2xy*pi (Formel M = 2r*pi*h)
Darin eine Variable der Nebenbedingung einsetzen, um eine Funktion nur mehr in einer Variablen zu erhalten;
M = (20 - y)*y*pi .. pi kann bei der Ableitung als (positiver) konstanter Faktor weggelassen werden
M(y) = 20y - y²
M'(y) = 20 - 2y
M''(y) = -2 < 0, also Maximum!
M'(y) = 0
20 - 2y = 0
--> y = 10 m, aus NB. folgt --> x = 5 m
Die zylindrische Plakatwand hat einen Durchmesser von 10 m und eine ebensolche Höhe. Deren Fläche innen und außen ist nun:
A = 2* 2*5*10*pi = 200*pi m² = 628,32 m²
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Gr
mYthos |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 23:31: |
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Dazu hatte ich vorgestern noch einen Nachtrag mit einer Skizze geschrieben, der aber unerklärlicherweise verlorengegangen ist.
Unter einem Parallelschnitt versteht man einen Schnitt parallel zu einer Grundkante durch den Mittelpunkt (Höhe und Spitze) der Pyramide.
Die Berührung des der Pyramide eingeschriebenen Zylinders mit den Seitendreiecken der Pyramide findet exakt ausgedrückt jeweils nur in einem Punkt der Seitenhöhen dieser Dreiecke statt.
Sh. Skizze!
Gr
mYthos
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