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Lösung Integral e^x²

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marvin
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 16:45:   Beitrag drucken

hallo

ich suche die lösung des integrals e^x^2, also e hoch x², NICHT (e^x)^2 ... ok?

danke
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 22:04:   Beitrag drucken

Hallo marvin,
Ich nehme an es soll nach x integriert werden.

Dieses Integral ergibt nicht viel Sinn.
Außerdem:
Eine Lösung kann nicht mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden.
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 04:20:   Beitrag drucken

Die einzige Möglichkeit, die mir dazu einfällt, ist nicht die Stammfunktion, sondern das uneigentliche Integral, und die Integration führt über Polarkoordinaten.

(ò0 ¥e-x²dx)2 = (ò0 ¥e-x²dx) * (ò0 ¥e-y²dy)

= ò0 ¥ò0 ¥e-(x²+y²)dxdy


Mit der Substitution x=rcosj und y=rsinj und der Überlegung, dass vorher über den ersten Quadranten integriert wurde, der erste Quadrant sich aber auch ergibt, wenn ein "Ursprungsstrahl" den Winkel von 0° bis 90° überstreicht, wird dies zu

= ò0 ¥ò0 p/2e-r²djdr

= p/2 * ò0 ¥re-r²dr

= p/2 [-e-r²/2]0¥

= p/2 *{0 - (-e0/2)}

= p/4


(ò0 ¥e-x²dx)2 = p/4 | Ö

=> ò0 ¥e-x²dx = (Öp)/2
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 07:49:   Beitrag drucken

Hallo B.Bernd,
Du behandelst da eine völlig andere Funktion:

gefragt ist: e

nicht: e-x²
=====================
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 19:55:   Beitrag drucken

uups Staub vom Monitor wischt *g*

danke Fern
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marvin
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 11:40:   Beitrag drucken

schön das das integral nicht viel sinn ergibt. es ist schlieslich aus einem mathebuch entnommen :-))

im ernst: das unbestimmte integral ist gesucht, ich meine es würde über partielle integration gelöst, bin mir aber nicht mehr sicher ... jedenfalls war es keine ellenlange lösung ...

bin gespannt,
marvin
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 17:47:   Beitrag drucken

Hallo marvin, nenne doch mal Titel und Autor des Buches
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Alf
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. September, 2000 - 13:22:   Beitrag drucken

Die Stammfunktion dieses Integrals ist:

-1/2*I*Pi^(1/2)*erf(I*x)

erf bezeichnet die Errorfunktion.
I bezeichnet die imaginäre Einheit.

Die Errorfunktion ist nicht elementar, sie ist wie folgt definiert:

erf(x) = 2/(Pi^(1/2)) * int(exp(-t^2), t=0..x)

Man sieht, daß diese Lösung genau das ursprüngliche Integral in den Grenzen von 0 bis x ist. Das Ausgangsintegral wurde nur mit Hilfe der Errorfunktion etwas umgeschrieben.

Der einzigste Vorteil dieser Darstellung ist, daß für die Errorfuntion Tabellen existieren und daß sie evtl. in einigen Taschenrechnern und Softwareprogrammen implementiert ist.

M.f.G. Alf
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Alf
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 01:03:   Beitrag drucken

Übrigens läßt sich die Stammfunktion auch sehr schön als unendliche Reihe schreiben.

Hierzu geht man am besten von der Reihendarstellung von exp(x^2) aus und führt eine Taylorentwicklung der Stammfunktion um x=0 durch. Es ergibt sich dann als Stammfunktion:

S¥ k=01/(k!*(2k+1))*x(2k+1)

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