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Steve
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 10:06: | 
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Kann mir jemand sagen, wie ich die Norm einer Matrix ablese? Ich hab es noch nicht verstanden.
Ich soll von der 3x3 Hilbertmatrix die Gesamtnorm, die Zeilensummennorm, die Spaltensummennorm und die Quadratsummennorm ablesen. Aber wie??
Bitte helft einen armen Studenten. |
Ulf
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:02: |
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Hi Steve,
den Begriff "Gesamtnorm" kenne ich nicht, die anderen drei sind aber einfach:
1. Zeilensummennorm:
Du berechnest für jede Zeile der Matrix getrennt die Summe über alle Elemente dieser Zeile. Von allen diesen Zeilensummen nimmst du dir dann den maximalen Wert heraus. Das ist die Zeilensummennorm der Matrix.
2. Spaltensummennorm:
Wie Zeilensummennorm, nur statt der Zeilen die Spalten betrachten.
3. Quadratsummennorm (auch Frobeniusnorm):
Du berechnest die Summe aus den Quadraten aller Elemente der gesamten Matrix und ziehst aus diesem ert wieder die Wurzel. Schon fertig.
Viel Spaß, Ulf |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:39: |
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Hi Steve,
Damit Du mit Deiner Frage nach den verschiedenen Arten von
Matrixnormen nicht ganz leer ausgehst, gebe ich Dir anhand zweier
Beispiele jeweils fünf verschienene Typen der Matrixnorm an.
Als Matrizen wähle ich
a)
Die symmetrische (3,3)-Matrix A:= [[3,-1, 0],[-1,2,-1],[0,-1,3]]
Wir wollen damit ein wenig Matrizenkalkül betreiben.
A* sei die Transponierte (transpose) von A, also
A* =[[3,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,3]]
P sei das Matrixprodukt A mal A*; wir finden:
P= [[10,-5,1],[-5,6,-5],[1,-5,10]]
l1 = 1 , l2 = 3 , l3 = 4 sind die Eigenwerte von A
m1 = 1, m2 = 9 , m3 = 16 sind die Eigenwerte von P
Bitte alles nachrechnen !
b)
Die (n,n)-Diagonalmatrix Diag(dj)
In der Hauptdiagonalen stehen der Reihe nach die Elemene d1,d2,....,dn
Die übrigen Elemente sind alle null.
Mit d bezeichnen wir das Element mit dem grössten absoluten Betrag,
also d = Max(abs(dj)).
Du kannst auch hier das Produkt Q = D mal D* und die Eigenwerte
von D und Q berechnen .
Soviel sei verraten: die Eigenwerte von D sind der Reihe nach die
Diagonalelemente selbst und für Q erhalten wir als Eigenwerte
die Quadrate der Diagonalelemente.
So viel als Vorbereitung !. Nun zur Sache !
1.
Die Gesamtnorm
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bezeichnung: M(A) für eine (n,n)-Matrix A
Definition
Diese Norm ist das n- Fache des Maximums des Absolutbetrages der Elemente
der Matrix.
Wir erhalten für unsere Beispiele:
M(A) = 3* 3 = 9
M(D) = n d
2.
Die Zeilennorm
°°°°°°°°°°°°°°°°
Bezeichnung: Z(A) für eine (n,n)-Matrix A
Definition
Diese Norm ist das Maximum der Zeilensummen der Absolutbeträge der Elemente
pro Zeile
Wir erhalten für unsere Beispiele:
Z(A) = 4
Z(D) = d
3.
Die Spaltennorm
°°°°°°°°°°°°°°°°
Bezeichnung: S(A) für eine (n,n)-Matrix A
Definition
Diese Norm ist das Maximum der Spaltensummen der Absolutbeträge der Elemente
pro Spalte
Wir erhalten für unsere Beispiele:
Z(A) = 4
Z(D) = d
4.
Die Euklidische Norm
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bezeichnung: N(A) für eine (n,n)-Matrix A
Definition
Diese Norm stimmt mit der Quadratwurzel aus der Spur des Matrixprodukts
A mal Transponierte von A überein.
Die Spur einer Matrix ist bekanntlich gleich der Summe der Elemente, die in
der Hauptdiagonalen der Matrix stehen.
Wir erhalten für unsere Beispiele:
N(A) = wurzel(10 + 6 + 10) = wurzel(26);
dies stimmt überein mit der Quadratwurzel aus derSumme der Quadrate
aller Elemente der Matrix:
[N(A)]^2 = 3^2 + (-1)^2 +0^2 + (-1) ^2+ 2^2 + (-1)^2 +0^1 +(-1)^2 +3^2
= 26 (BRAVO)
N(D) = wurzel [ sum{ dj^2) }] , der Summationsindex läuft von 1 bis n.
5.
Die HILBERT-Norm oder Spektralnorm
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bezeichnung: H(A) für eine (n,n)-Matrix A
Man nimmt den grössten der reellen positiven Eigenwerte des Matrizenprodukts
A mal Transponierte von A und zieht die Quadratwurzel.
Wir erhalten für unsere Beispiele:
H(A) = wurzel(16) = 4
H(D) = wurzel(d^2) =d
Dis sollte genügen und Dir weiter helfen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 13:15: |
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Hi Ulf,
Besten Dank für Deinen Beitrag zum Thema der Norm von
Matrizen; er passt bestens zu meiner Arbeit zum selben Thema.
Die Begriffe scheinen weitherum unbekannt zu sein.;
ich selber habe die Bezeichnung „Frobenius –Norm“ bisher nicht gekannt.
Erst jetzt lese ich im Lexikon der Mathematik (Spektrum –Verlag)
unter dem betreffenden Stichwort nach :
Frobenius –Norm, eine Norm auf dem Raum der quadratischen Matrizen.
Es sei A = {(aik)} eine (reelle oder komplexe) (nxn)-Matrix.
Dann ist ihre Frobenius –Norm definiert durch
F(A) = [sum {abs(aij)}^2] ^ ( ½), Summe über alle Indizes i, j
von1 bis n.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 16:58: |
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Hi
Bevor wir eigene Normen für Matrizen erfinden wollen (!),
müssen wir die Frage beantworten, welche Forderungen an eine
Norm N(A) einer quadratischen Matrix A zu stellen sind.
Die Antwort lautet:
1.
Die Norm muss positiv sein , null nur für Nullmatrizen
2.
Fur alle skalaren Faktoren k muss gelten:
N (k A) = k N(A)
3.
Es muss die Dreiecksungleichung gelten
N(A+B) < = N(A) + N(B)
4.
Ebenso
N(A B ) < = N(A) * N(B)
MfG
H.R.Moser,megamath |
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