Auszüge aus früheren Zahlreich-Beiträgen (von Orion und Kay Schönberger)
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Hallo Kay, N., megamath: 

Wegen der Verdreifachungsformel des tan 
hat man unmittelbar 
tan(pi/3) = sqrt(3)= (3x - x^3)/(1 - 3x^2) 
und daraus durch Umordnen die fragliche Polynomgleichung. 
Uebrigens ist 
(x^3-3sqrt(3)x^2-3x+sqrt(3))(x^3+3sqrt(3)x^2-3x-sqrt(3))=x^6-33x^4+27x^2-2
Auf letzteres Polynom komme ich, wenn ich 
cos(2pi/9) = (1-x^2)/(1+x^2) 
sowie die Verdreifachungsformel für cos anwende. 
mfg 
Orion

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(von Kay Schönberger veröffwentlicht)
Nach dem Beitrag von Orion über die Winkelverdreifachung habe ich mal
ins Tafelwerk geschaut - und einen verblüffenden Zugang zur Lösung
all unserer Problemen gefunden: ein
Additionstheorem! 
Es gilt nämlich: tan(x + y) = (tan(x) + tan(y))/(1 - tan(x)*tan(y)) 
Idee: Theorem auf Summen mit mehr als 2 Summanden anwenden, z B. 
tan(3x) = tan(2x + x) = (tan(2x) + tan(x))/(1 - tan(2x)*tan(x)). 
Nun ersetzen wir tan(2x) auch entsprechend. Setzt man 
als Unbekannte z = tan(x), erhält man eine Gleichung
in Abhängigkeit von z. 
Das hätte man auch bei tan(p/9) tun können, man hätte
sofort die Gleichung 
x^6 - 33x^4 + 27x^2 - 2 = 0 erhalten. 
Das Interessante: Das Verfahren kann man auf alle natürlichen n mit 
tan(p/n) ausdehnen, in dem man einen bekannten tan-Wert
 aufspaltet und danach mehrmals das Additionstheorem anwendet! 
Für den von MegaMath angegebenen Wert tan(p/11) habe ich 
beispielsweise die Gleichung 
x^10 - 55x^8 + 330x^6 - 462x^4 + 165x^2 - 11 = 0 erhalten! 
Des weiteren für tan(p/7) die Gleichung 
x^8 - 20x^6 + 14x^4 + 28x^2 - 7 = 0 

Interessant ist die Ähnlichkeit: 
Man erhält offensichtlich immer biquadratische Polynome mit recht vielen 
reellen Nullstellen. 
Für Sinus und Kosinus kann man ähnliche Überlegungen anstellen. 
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(Beiträge wurden Im Zahlreich am 11. und 12. Januar 2002 
erstmals veröffentlicht)