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Beitrag |
    
Tommi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 15:38: | 
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Habe wegen Krankheit in der Schule
gefehlt. Soll nun diese Aufgabe lösen.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schonmal!!!!!!!!!!!!!!!
Aufgabe:
Bestimmen sie das Volumen der Kugelkappe in
Abhängigkeit von ihrer Höhe h und dem Kugelradius r:
v=1/3*pi*h²*(3*r-h) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 23:01: |
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Hi Tommi ,
Ich führe Dir eine Herleitung der Volumenformel
für eine Kugelkappe
(andere Namen: Kugelsegment , Kugelkalotte,
oder Kugelhaube)
vor, wie sie üblicherweise in der elementaren
Stereometrie ausgeführt wird
Wir gehen aus von einem Kreis , Mittelpunkt M, Radius r;
AB ist ein Kugeldurchmesser, DE eine dazu senkrechte
Kreissehne, welche von AB im Mittelpunkt N der Sehne
geschnitten wird.
Bei einer Rotation um die Gerade AB als Achse beschreibt
der Kreis eine Kugel (Mittelpunkt M, Radius r);
die Kreisbögen DAC und DBC beschreiben je eine Haubenfläche
mit den Flächen H1 und H2, die sich zur Kugeloberfläche ergänzen
Die Kreissektorfläche MDAE beschreibt bei der Rotation einen
Kugelsektor vom Volumen S ,
das Kreissegment DNEA ein Kugelsegment ,
dessen Volumen V zu bestimmen ist .
Das vom Kreissegment DNEB erzeugte Kugelsegment
habe das Volumen V' ; diese Volumina ergänzen sich zum
Kugelvolumen;
es gilt V + V' = 4/3 *Pi * r^3.
Die Länge der Strecke NA ist die Höhe h des ersten,
die Strecke NB die Höhe h' des zweiten Kugelsegments.
Es gilt : h + h' = 2r.
Für die folgenden Ausführungen wird die Flächenformel für
eine Haube H1 (oder H2) als bekannt vorausgesetzt.
Es gilt: Haubenfläche (auf der Kugeloberfläche):
H1 = 2 Pi * r * h , analog : H2 = 2* Pi * r * h'....................(1)
Ebenfalls als bekannt vorausgesetzt wird, dass das Volumen S
eines Kugelsektors berechnet wird als der dritte Teil des
Produkts aus seiner Haubenfläche und dem Kugelradius r, also:
S = 2 * Pi / 3 * r ^ 2 * h..........................................................(2)
Der Ergänzungssektor hat dann das Volumen
S' = 2 * Pi / 3 * r ^ 2 * h'
Das Dreieck MDA beschreibt bei der Rotation einen geraden
Kreiskegel mit M als Spitze; die Strecke ND ist der Radius rho
der Grundfläche des Kegels.
Das Volumen K des Kegels beträgt:
K= 1/3 * Pi* (rho) ^2 * (r-h)...................................................(3)
Nach dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck
BDA (rechter Winkel bei D nach Thales !) gilt
(rho) ^ 2 = h* (2r -h) ,
also:
K = Pi* h / 3 * (2 r - h ) * ( r - h ).................................................(4)
Das Produkt der beiden Klammern ist 2r^2 - 3rh - h^2
Nun sind wir zur Herleitung bereit!
Wir stellen das gesuchte Volumen V als Differenz
Sektorvolumen minus Kegelvolumen dar:
V = S - K =
= 2 * Pi / 3 * r^2 * h - pi * h / 3 * [ 2 * r^2 - 3*r*h - h^2 ] =
= Pi * h / 3 * {2 * r ^ 2 - 2* r ^ 2 +3*r*h -h ^ 2)
= Pi * h ^ 2 / 3 * ( 3 * r - h ) q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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