ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Exkurs: Laplace-Transformationen (Teil 2)

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Exkurs: Laplace-Transformationen (Tei...

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Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1204
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 22:23:

Hier geht es mit den Laplace-Transformationen weiter.
Erster Teil:
Laplace-Transformationen Teil 1

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 620
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 12:38:

Hi Kolegen,

nun wollen wir uns die Laplace-Transformationen periodischer Funktionen zur Brust nehmen....

Laplace Transformationen periodischer Funktionen
=================================================

Ok, dann denken wir uns mal eine nette periodische Funktion mit der Periode T.

Wegen der Periodizität der Funktion f(t) mit der Periode T , lässt sich ein einfacher mathematischer Zusammenhang festhlaten:

f(t)=f(t+T)=f(t+2T)=...=f(t+nT)

Dabei ist n=1;2;3;.... also die Menge der natürlichen Zahlen. Wir wollen nähmlich auch hier f(t) nur für t>0 betrachten und f(t)=0 für t<0 setzen.

Nun wollen wir eine spezielle Integrationsformel für unsere periodische Funktion entwickeln, damit wir sie auf einfachen Wege Laplace transformieren können.

unser Trick soll dabei sein, das wir nicht direkt über das gesammte Intervall [0;¥] Integrieren, sondern Stückweise längs der einzelnen Periodenintervallen. Und dann summieren wir einfach alle Periodenintervalle auf um auf das Endergebnis zu kommen...
================================================

Ich denke um euch mal richtig zu fordern könntet ihr diese Formel praktisch alleine herleiten.
Nur wenn ihr schwirigkeiten bekommt stehe ich gerne euch zur Seite.
Am Ende dürft ihr dann mit der Formel die Bildfunktion der Sinsusfunktion berechnen um euer Ergebnis zu testen. Ich verrate also nichtmal wie die Formel nachher aussieht oder besser aussehen solle. Alles was ihr braucht-den "Schlachtplan" habe ich verraten und der rest soll eueren mathematischen Instinkt rauskitzeln-Ich denke genügend "mathematischen Instinkt" besitzt ihr für diese Großtat. Also wer als erster hier die richtige Herleitung plaziert kann sich meines wohlwollens und unermesslichen Lobes sicher sein!
Aber bitte net schummeln...

Viel vergnügen beim Knobeln!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 629
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 13:09:

Hm,

also wenn ich den Ansatz richtig verstanden hätte, dan integriern wir jetzt "periodenweise":

Normal : F(s)=ò₀^¥ f(t)*e^-st dt

Nun also:

F(s)=ò₀^T f(t)*e^-st dt + ò_T^2T f(t)*e^-st dt ...

Also meiner Meinung nach dann:

S^¥_i=0 ò_iT^(i+1)T f(t)*e^-st dt

Denke ich richtig?

mfg

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 621
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 13:37:

Hi Ferdi,

jawohl, du bist auf den richtigen Weg!

ich hatte ja vorgschlagen "n" zu nehmen, aber meinetwegen kannst du auch mit "i" rechnen, der Kunde ist ja König!

Mehr verrate ich aber auch nicht....

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1208
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 13:45:

Hi Ferdi, Hi Niels

Ich glaube ich habe die Formel gefunden.

Jetzt nehmen wir mal das Integral:
ò_T^2T f(t)e^-st dt
Substitution
z=t-T
Unser Integral wird zu
ò₀^T f(z+T)e^-s(z+T) dz
=e^-sT*ò₀^T f(z)e^-sz dz
=e^-sT*ò₀^T f(t)e^-st dt

Für die weiteren Integrale verfahren wir analog.

Damit bekommen wir für F(s):
F(s)=S^¥_k=0 ò_kT^(k+1)T f(t)e^-st dt
=(S^¥_k=0 [(e^-sT)^k])ò₀^T f(t)e^-st dt
Ja, und da steht eine geometrische Reihe in der Klammer, deren Grenzwert wir berechnen können.
=1/(1-e^-sT)*ò₀^T f(t)e^-st dt

Bildfunktion der Sinusfunktion hab ich damit berechnet, das stimmt schonmal überein...

MfG
C. Schmidt

Habe grade erst eure beiden Beiträge gelesen. Jetzt habe ich k statt n genommen ;)
Ist hoffentlich nicht schlimm, fällt ja eh weg.

(Beitrag nachträglich am 27., April. 2003 von Christian_s editiert)

(Beitrag nachträglich am 27., April. 2003 von Christian_s editiert)

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 622
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 14:22:

Hi Christian,

du hast die richtige Lösung gefunden.

Eine Anmerkung:

Man hätte gleich bei der Herleitung der Formel an der stelle:

F(s)=S^¥_n=0ò_nT^(n+1)Tf(t)*e^-st dt

Substituieren können:

t=u+nT=>u=t-nT=>du=dt

untere Grenze: t=nT=>u=nT-nT=0
Obere Grenze: t=(n+1)T=>u=(n+1)T-nT=T

also im endefekt:

F(s)=S^¥_n=0ò₀^Tf(u+nT)*e^-s*(u+nT)dt

F(s)=S^¥_n=0e^-snTò₀^Tf(u)*e^-su du

Allerdings muss ich noch an einer Stelle "nachhacken".
Welche Bedingung muss vorliegen, damit eine "geometrische Reihe" vorliegt, die wir berechnen können?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1210
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 14:25:

Ok, die Bedingung hätte ich nennen sollen.
e^-sT sollte zwischen 0 und 1 liegen.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 623
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 15:08:

Hi Christian,

und was bedeutet das nun für s ?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1211
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 15:16:

Hi Niels

s muss positiv sein. Dann wird e^-sT<1.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 624
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 16:43:

Hi Christian,

exakt und das s>0 ist stellt doch keine Hürde für uns dar.

Aufgabe 28)

Bestimmen sie die Laplce Transfomrierte der Funktion f(t)=cos(t) mit hilfe der Formel für periodische Funktionen!

Aufgabe 29)

Bestimmen sie die Laplace Transformierende der Rechteckkurve
f(t)=1 für 0<t<a
f(t)=-1 für a<t<2a

natürlich mit Hilfe der Formel für die periodische Funktionen.

Aufgabe 30)

Bestimmen sie die Laplace Transformierende der Sägezahnkurve:

f(t)=(A/a)t für 0<t<a

viel Spaß!

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1212
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:01:

Hi

Aufgabe 28)

Hier kommt wieder das bekannte Ergebnis raus.
F(s)=s/(s²+1)

Aufgabe 29)

F(s)=(e^-as-1)²/[s*(1-e^-2as)]

Aufgabe 29)

F(s)=A/(as²)-A/s*e^-sa

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 631
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:19:

Also bei 29 hab ich

F(s)=(1-e^-as)/(s*(1+e^-as))

raus...

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1214
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:36:

Hi Ferdi

Dein Ergebnis ist das gleiche wie meins. Zugegebenermaßen etwas schöner geschrieben.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 625
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:07:

Hi Christian und Ferdi,

Aufgabe 28) Kinderkram; narürlich richtig!

Aufgabe29) Ferdis sehr schones Ergebnis kann man noch "veredeln" wer möchte es versuchen?
Ergebnis sonst prinzipell richtig!

Aufgabe 30)

Bitte stelle dein Ergebnis Christian als gesammten Bruch da mit nur einem Zähler und einem Nenner. Dann kann ich erst vernünftig beurteilen ob das Ergebnis korrekt ist.
So sieht es meinses erachtens Falsch aus, vielleicht habe ich mich aber auch nur verguckt.

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:13:

Also zu 29)

Wir habens zwar in der Schule nie angesprochen, aber sieht doch Stark wie der Tangens hyperbolicus aus (aus meiner Formelsammlung). Mit etwas modifikation ergibt sich dann:

F(s)=1/s*tanh(as/2)

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 626
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:34:

Hi Ferdi,

dein Hinweis auf den Tangens hyperbolicus war genau das was ich hören wollte. So vereinfacht finde ich sieht das Ergebnis wirklich zum "anbeißen" schon aus:-)

Und wie sieht es mit Aufgabe 30) aus?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1215
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:36:

Hi

Also beim Tangens Hyperbolicus kann ich nur zustimmen.

Zu Aufgabe 30)

F(s)=A/a*[(-s*a*e^-as-e^-as+1)/s²]*1/(1-e^-as)

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 633
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 19:56:

Aufgabe 30)
hab ich auch so nur einwenig noch umgeformt:

F(s)=A*(1-((1+as)e^-as))/(as²*(1-e^-as))

Das geht bestimmt noch ästhetischer...

mfg

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 627
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 20:41:

Hi Leute,

also Kinders, an der Ästhetik müssen wir noch arbeiten...

was hält ihr davon euern Bruch mit e^as zu erweitern?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1217
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 21:14:

Stimmt, damit wird es schöner.

F(s)=[A(1-as+e^as)]/[as²(e^as-1)]

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 628
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:14:

Hi christian,

das Ergebnis erwärmt wirklich mein Herz!
Aber das Tüpfelchen Oder das Sahnehäubchen wäre folgende Form:

F(s)=A(1+as-e^as)(as²*(1-e^as)

aber muss ja nicht sein....

Wenn ihr nun keine weiteren Fragen habt würde ich gerne mit dem Rücksubstituieren beginnen.

Kanns losgehen?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1221
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:15:

Ja, kann weitergehen.

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 635
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:21:

Ja, hau rein, morgen is Geschichtsabi, da tut mal ein wenig Abwechslung gut...

mfg

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 629
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:40:

Prima jungs,

wollen wir nur Rücktransformieren, oder soll ich ein Übungsprogramm auflegen, was auch die anderen Eigenschaften der Laplace Transformationen behandelt. Wir würden dann nicht nur das Rücktransformieren, sondern auch noch das Transformieren üben. Quer durch die Bank, vom Ähnlichkeitssatz bis zum Falltungsprodukt-Entweder gebe ich dann ein paar Tipps welcher Satz bei welcher Aufgabe hilfreich sein könnte oder ich lasse euch ganz allein im Aufgabendjungel.

Ein Kleines "Arbeitsprogramm" halt das eure Gehirnzellen aufs äußerste strapazieren dürfte....

Sagt was dazu!

Übrigens Ferdi:

Ich würde glatt mit dir Wetten das morgen mindestens eine der 2 Klausuren in Geschie aus dem Bereich "Nationalsozialismus" stammt.
Ansonsten kann ich auch Weimar empfehlen, ist bei Lehren sehr belibt....

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 636
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 16:48:

Mir solls egal sein, können auch gleich mit der Rücktransformation durchstarten...

mfg

PS: Danke für den Tipp...

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 630
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 17:22:

wie ihr wollt:

Rücktransformationen
============================

Wichtig ist bei den Rücktransformationen eine "Transformationstabellen", die ihr hoffentlich euch schon zu den Laplace Transformationen zugelegr habt oder euch erstellt habt. Wenn ihr die Funktionen die wir bisher besprochen habt verinnerlicht habt sollte es keine Probleme geben.
Ansonsten immer schchön Falltungssatz und "Partialbruchzerlegung" im Auge und im Petto haben. Besonders die Partialbruchzerlegung ist hilfreich...

Wir starten also durch:

Aufgabe 31)

Bestimme zu F(s)=(s³+2s²-4s+4)/(s⁴-4s³+4s²) die Originalfunktion!

Aufgabe 32) Bestimme die Originalfunktion von den folgenden Bildfunktionen:

a)F(s)=1/(s-8)
b)F(s)=1/s⁴
c)F(s)=3/(s²+25)
d)F(s)=4s/(s²+36)
e)F(s)=(s-4)/[(s-4)²+4]
f)F(s)=(1/(s²+25))-(3s/(s²-1))

Aufgabe 33)

Gesucht sind die Originalfunktionen folgender Bildfunktionen:

a)F(s)=(5s+1)/(s²+s-2)
b)F(s)=(s+2)/(s²+2s-3)
c)F(s)=(-2s²+18s-3)/(s³-s²-8s+12)

==========================================

Viel Vergnügen dabei!

Gruß N.

Niels (niels2)

Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 631
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 17:31:

Übrigens Ferdi,

das war ja nur so ein kleiner Hinweis, Prinzipell kann morgen alles zwischen 1848 und 1949 drankommen, aber mehr auch nicht. Ich weiß ja nicht welche Hinweise euer Lehrer euch unterschwellig gegeben hat, aber bei uns war es Weimar...
Er hatte sogar eine Klausur dazu eingereicht, aber was machen die Deppen im Ministerium-Sie schmissen Weimar raus und es blieb uns nur die "Röhm Krise" und Nachkriegszeit d.h. George F. Kennan-Falls du mit dem Namen etwas anfangen kannst....

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1222
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 17:49:

Hallo

Ich werd bei den Aufgaben erst morgen wieder mitmachen. Werd jetzt nochmal die eine oder andere Sache für Abi morgen rechnen. Vor allem Stochastik, das mag ich überhaupt nicht....

Habt ihr vielleicht noch irgendeinen guten Link zu Geschichtsseiten? Das schreib ich nämlich auch am Freitag. So ab Wiener Kongress 1814. Am besten wär irgendwas zu Verfassungen.

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 638
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 19:19:

Also eine einfach möcht ich hoit abend noch lösen ;-)

32
a) f(t)=e^8t
b) f(t)=1/6*t³

c)(3/5)*sin(5t) (??)

mfg

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 21:04:

Hi Christian,

vorab möchte ich euch für Morgen viel Glück wünschen! Ihr werdet das Ding schon schauckeln!

@Ferdi:

Aufgabe 32)
a)-c) alle Korrekt!

machts gut und wie gesagt viel Glück morgen!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 639
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 22:11:

Also bei 31)

Hab ich als P.bruchzerlegung:

(s³+2s²-4s+4)/(s⁴-4s³+4s²)
=1/s² + 3/(s-2)² + 1/(s-2)

also:

f(t)= t + 3te^2t + e^2t

Hoffe da war kein rechenfehler drin...

mfg

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 640
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 12:34:

Hi,

komm grad vom Abi:

Bismarcks Innenpolitik mit anschliesendem vergleich dieser Politik zur Innenpolitik aus Weimar und von heute...

Naja,

bei 32d) hab ich f(t)=4*cos(6t)

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1225
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 13:30:

Hi

a) bis d) hab ich so wie Ferdi .

e) f(t)=e^4tcos(2t)

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1226
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 13:36:

f)
f(t)=1/5*sin(5t)+3/2*e^t+3/2*e^-t

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1227
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 14:11:

Bei Aufgabe 31) hab ich auch das von Ferdi raus.

33)
a) f(t)=2e^t+3e^-2t
b) f(t)=1/4*e^-3t+3/4*e^t
c) f(t)=-3e^-3t+5te^2t+e^2t

Hoffe mal das stimmt so.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 633
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 16:49:

Hi Jungs,

Aufgabe 31) Korrekt
Aufgabe 32)d)-f) Korrekt
Aufgabe 33) Korrekt

@Ferdi: Tja, habe ich doch gesagt:-) Es kann alles was zwischen 1848-1949 passierte konnte drankommen.

Was für eine andere Möglichkeit gab es noch bei dir?

@Christian:

Und wie lief dein Abi?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1229
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 17:23:

Abi lief eigentlich relativ gut. Analysis und Stochastik waren eigentlich leicht, war damit auch schnell fertig. Bei der analytischen Geometrie hab ich mich am Anfang etwas dumm angestellt und mich paarmal verrechnet, aber dann gings auch. Außerdem hatte man ja auch genug Zeit...
Morgen bei Physik wirds denk ich mal schwerer.

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 634
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 18:37:

Hi Christian,

das gleiche war mir passiert.Ich war Gerade bei der Analytischen Geometrie Aufgabe 3e) mit der Aufgabenstellung "Zeigen sie das die Gerade D:....in der Ebene liegt" und das richtige Ergebnis wollte sich nicht einstellen.Meine Ebenen Gleichungen mussten falsch sein! Und Tatsächlich in der Aufregung hatte ich doch tagsächlich ein Minuszeichen in einem meiner Vektoren unterschlagen! Dann durfte ich alles nochmal rechnen und dann passts...

Hier nochmal ein paar Aufgaben so zum üben: Es geht um Transformationen und Rücktransformationen:

Aufgabe 34)

Bestimmen sie zu f(t)=sin²(wt) die Bildfunktion!

Aufgabe 35)

Bestimmen sie zu f(t)=a^bt die Bildfunktion!

Aufgabe 36)

Bestimmen sie zum "Sinusimpuls"

f(t)=A*sin((p/a)t) für 0=<t=<a
f(t)=0 für a=<t=<2a

Die Bildfunktion!

Aufgabe 37)

Bestimmen sie zu F(s)=1/[(s-2)(s+4)] die Originalfunktion!

Aufgabe 38)
Bestimmen sie zu F(s)=2s/(s²+1)² die Originalfunktion!

Aufgabe 39)
Bestimmen sie zu F(s)=1/((s²+9)s) die Bildfunktion!

Aufgabe 40)

Bestimmen sie die Laplace-Transformierte der "Treppenfunktion":

f(t)=0 für 0<t<a
f(t)=A für a<t<2t
f(t)=2A für 2a<t<3a
usw...

Viel Freude mit den Aufgaben!

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1232
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 19:32:

Aufgabe 34)

F(s)=2w²/[s(s²+4w²)]

Aufgabe 35)
F(s)=1/(s-b*ln(a))

MfG
C. Schmidt

(Beitrag nachträglich am 29., April. 2003 von Christian_s editiert)

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1233
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 19:42:

Aufgabe 36)

F(s)=paA/[(1-e^-as)(s²a²+p²)]

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 635
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 20:08:

Hi Christian,

Aufgabe 34)-36) Korrekt gelöst. Ich zieh meine Mütze....

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1234
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 20:30:

Das hört sich ja schonmal gut an.

Dann gehts weiter.

Aufgabe 37)
f(t)=1/6*e^2t-1/6*e^-4t

Aufgabe 38)
f(t)=t*sin(t)

Aufgabe 39)
f(t)=-1/18*(cos(-3t)+cos(3t))+1/9

So, jetzt kommt die Aufgabe, die mir die meisten Probleme bereitet. Aufgabe 40)
Ich hab den Ansatz hier so ähnlich gemacht wie bei den periodischen Funktionen.
Insgesamt erhalte ich dann:

F(s)=[S^¥_k=1 k/e^(k-1)as] ò_a^2a Ae^-st dt

Das Integral kann man ja leicht lösen, aber ich weiss nicht wie man den Wert der Reihe berechnet. Maple gibt mir zwar einen Wert aus, aber ich komm halt selbst nicht drauf.

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 641
Registriert: 10-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 21:21:

Hi,

ihr habt ja schon gute Arbeit geleistet. Hab mir beim Fussball erst mal Luft verschafft! Wir dwohl alles stimmen ich rechne das morgen mal!

@Niels:
Der zweite Vorschlag war eine britische Karikatur über die Einverleibung Östereichs und die Anstehende Münchener Konferenz, die fand ich ein wenig verwirrend, weshalb ich zu Bismarck ging. Naja, ich hab am Freitag Matheabi, da freu ichmich richtig drauf...

mfg

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 636
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 07:51:

Hi christian,

...through early morning fog i see visions of the things to be...

Guten Morgen erstmal:

Aufgabe 37) korrekt
Aufgabe 38) korrekt
Aufgabe 39) Falsch!!!!!

Tja, wenn ich dir die Lösung von Aufgabe 40) verrate würdest du dir vor Wut in Hintern treten, das du nicht selber drauf gekommen bist:-)
Dein Ansatz ist im Prinzip richtig, rechne erstmal die Integral aus, dann wird sich alles in wohlgefallen auflösen!
*Mist* jetzt habe ich mal wieder zu viel verraten-ich Plappermaul....

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 09:43:

Hi,

meine Idee zu 39)

f(t)=(1/9)*(1-cos(9t))

mfg

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 11:35:

Uups,

war wohl zu früh am morgen! Es muss natürlich:

f(t)=(1/9)*(1-cos(3t))

heißen.

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 12:23:

Hi Niels

Hab ja heut morgen Physik geschrieben. Wer damit relativ früh fertig und wusste nicht was ich machen sollte. Wir hatten dann da so ein Konzeptpapier, da hab ich dann einfach mal Aufgabe 40) gemacht ;)
Hab da auch ein Ergebnis rausbekommen.
F(s)=A/(s(e^as-1))

Habs jetzt ausm Kopf hier aufgeschrieben, das Konzeptpapier musste ich nämlich mit abgeben...
Hoffe mal das stimmt so.
Man konnte damit übrigens den Grenzwert meiner Summer oben berechnen.
Wenn a=s=1 kam das hier raus:
e²/(e-1)²
Mit a und s das hab ich vergessen, ließ sich aber leicht herleiten wenn man schonmal die Laplacetransformierte hat.

Zur 39)
Mir fällt da kein anderes Ergebnis ein. Vielleicht kann mans irgendwie noch etwas schöner schreiben als bei mir, aber ich hab grad nochmal die Laplacetransformierte zu meiner Funktion berechnet und es kam die richtige raus.

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 12:33:

Mir ist grad doch noch was eingefallen zur 39...
Hab das gleiche raus wie Ferdi, weil
cos(3t)=cos(-3t)
Wie seid ihr bei der Aufgabe hier auf die Lösung gekommen?? Mein Lösungsweg war irgendwie sehr umständlich.

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 12:41:

Also ich hab einfach Partialbruchzerlegung gemacht:

(As+B)/(s²+9)+C/s=1/((s²+9)*s)

liefert A=-(1/9) B=0 und C=(1/9)

Der Rest ist dann ja trivial.

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 12:44:

Ok, das sieht schon besser aus als bei mir..
Ich frage mich gerade warum ich das nicht auch so gemacht hab ;)

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 13:54:

Hallo ihr beiden,

jetzt sind Aufgabe 39) und 40) auch richtig!

@Christian:

Ich würde gern das Gesicht deines Physiklehrers sehen, wenn er die Laplace Transformation der Treppenfunktion auf dem Konzeptpapier entdeckt:-)

Vielleicht kommentiert er das ja...

Ich will euch nochmal kurz auf den Zahn fühlen:

Aufgabe 41)

Bestimmen sie die Laplace Transformierte der Funktion:

a)f(t)=sin(wt+f)
b)f(t)=cos(wt+f)

Aufgabe 42)

Bestimme die bildfunktion zu

a)f(t)=tⁿ (n>0)
b)t^n-1/(n-1)! (n>0)
c)f(t)=t^a (a Element R)

Frage: Kann jemand mal kurz auflisten, zu welchen Funktionen wir schon die Bildfunktion ermittelt haben?
Ich denke, wenn Aufgabe 41) und 42) durch sind, können wir entlich damit beginnen, was schon immer unser Ziehl war-Differentialgleichung mit Hilfe von Laplace Transformationen lösen!

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:00:

Mir ist grad ein Fehler unterlaufen...habs wegeditiert.

MfG
C. Schmidt

(Beitrag nachträglich am 30., April. 2003 von Christian_s editiert)

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:21:

Hm,

42b)

F(s)=1/sⁿ

mfg

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:25:

Dann müsste

42a) F(s)=n!/(s⁽ⁿ⁺¹⁾)

sein.

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:30:

Hi Ferdi,

Aufgabe 42a) und 42b) sind richtig!

und bei c) kommt eine meiner Lieblingsfunktionen zur Geltung.....

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:37:

Hm, wenns schon um die Fakultät jetzt bei reelen Zahlen geht, dann denke ich gehts um die Gammafunktion, obwohl ich sie kaum kenne(muss ich mich mal mit beschäftigen):

42c)

F(s)=G(a+1)/(sⁿ⁺¹)

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 14:47:

Volltreffer!!!!!!!!!!!

Gratulation Ferdi!!!

Aufgabe 42c) ist ebenfalls korrekt und ich sage dir, die Gammafunktionen ist einen Gedanken Wert!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 15:48:

Es war ja nicht mehr schwer von natürlichen Zahlen auf reele zu schliessen. Mir war ja bekannt, das die Gammafunktion die Fakultäten für reele Zahlen beschreibt! Also ein wenig hab ich mit damit mal beschäftigt, ist wirkich ne schöne Sache...

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 20:38:

So Jungs,

einer von euch oder ihr beide macht noch schnell Nummer 41) und dann wollte ich Morgen feierlich am Tag der Arbeit die Katze aus den Sack lassen, wie man nun DGL's mit Laplace löst.

Also aufi gehts...

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 14:44:

Hm,

hab bei 41) sowas raus:

f(t)=sin(wt+b)

F(s)=-(s*sin(b)+w*cos(b))/(s²+w²)

mfg

(Beitrag nachträglich am 01., Mai. 2003 von tl198 editiert)

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 15:50:

Hi Ferdi,

du hast fast das richtige Ergebnis raus, es ist eine Kleinigkeit, aber so ist das Ergebnis falsch.

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 19:24:

Ach ja,
das Minus muss ja wegfallen da 0 die untere Grenze ist!

F(s)=(s*sin(b)+w*cos(b))/(s²+w²)

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 19:44:

Hi Ferdi,

nun ist das Ergebnis richtig!
Noch schnell das Ergebnis für den Cosinus finden und dann ist es soweit!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Mai, 2003 - 20:44:

Ok:

f(t)=cos(wt+b)

F(s)=(s*cos(b)-w*sin(b))/(s²+w²)

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Mai, 2003 - 10:00:

Hi FErdi,

korrektes Ergebnis!

Dann kann es ja demnächst weitergehen...

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Mai, 2003 - 11:42:

Ok,

ich bin bereit.

mfg

PS: Heute war mein Matheabi: Wir hatten ne Funktionsschar die es in sich hatte: f(x)=a*((2-ln(ax)*ln(ax)) mit allem drum und dran. Dann gabs noch einen Gemüsehändler mit allerlei Wkeiten und eine ritterliche Burg(Geometrie), wobei ich zugeben muss das mich meine Fähigkeiten bei letzterer verlassen haben, die Nachprüfung winkt...

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Montag, den 05. Mai, 2003 - 12:50:

Hi

Ich bin jetzt auch wieder dabei.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Montag, den 05. Mai, 2003 - 18:09:

Prima Kolegen,

dann kann es ja endlich weitergehen:

Nach einem verlängerten Maiwochenende gespickt mit Famillienfeiern habe ich auch wieder Zeit.

Bevor wir allerdings mit den Differentialgleichungen fortfahren noch ein paar historische Notizen...

Laplace-Wer war dieser Mann?
=================================

Pierre Simon Laplace wurde 1749 in Beaumont-en-Auge (Frankreich) geboren. Als Mathematiker wurde er nicht nur wegen seiner erfundenen Transformationen-den Laplace Transformationen-bekannt. Er wirkte auch in den Bereich Lineare Algebra (Laplacescher Entwicklungssatz->Determinanten) und entwickelte die Warscheinlichkeitsrechnung mit weiter.
Gestorben ist er 1827 in Paris.

======================================

Soviel zur Person Laplace.

Leute, ich habe nachgezählt, wir sind seit knapp einem vierteljahr mit DGL's beschäftigt und nach ca 640 Beiträgen zu diesem Thema in den letzten 3 Monaten solltet ihr ein kleinen Einblick in die Materie erlangt haben.

Es sind nun wirklich die letzten Meter nicht nur in eurer Schulzeit angebrochen, sondern auch die letzten Meter dieses Exkurses. Ich bin zuversichtlich, das wir denn letzten Rest auch noch bis zum 16.5 gebacken kriegen. Dann wären exakt 3 Monate vergangen. Das heißt aber nicht, das die letzte Meile nicht doch noch anspruchsvoll sein wird!

Seit ihr bereit?

Gruß N.

PS: Wie waren deine letzten Abiklausuren Christian?

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Montag, den 05. Mai, 2003 - 19:09:

Ich bin bereit! Ich warte schon :-)

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Montag, den 05. Mai, 2003 - 23:56:

Von mir aus kanns auch weitergehen.

PS: Wie waren deine letzten Abiklausuren Christian?

Liefen eigentlich alle relativ gut :-)

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 19:48:

Ok, dann geht es auch inhaltlich weiter:

Das Lösen lin. Differentialgleichungen durch Laplace Transformationen
=================================================

Ich habe ja am Anfang angekündigt, dass man per Laplace Transformationen DGL's in algebraische Gleichungen quasi "umwandeln" sprich transformieren kann.
Eine algebraische Gleichung besitzt aber konstante Koeffizienten.Wir können daher also nur DGL's mit Konstanten Koeffizienten durch Laplace Transformationen lösen.Wir wollen erstmal den allgemeinen Lösungsweg für das Lösen eines AWP's zeigen; Wir beginnen mit der lin. DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Gegeben ist also die DGL und der Anwangswert

y'+ay=g(t) AWP:y(0)

wir transformieren nun die DGL:
Es soll gelten

L[g(t)]=F(s)
L[y(t)=Y(s)
L[y'(t)]=s*Y(s)-y(0)

aus der DGL wird dann die Gleichung

s*Y(s)-y(0)+a*Y(s)=F(s)

Diese algebraische Gleichung wird nach Y(s) aufgelöst.

(s+a)*Y(s)=F(s)+y(0)
Y(s)=(F(s)+y(0))/(s+a)

Danach wird nun wieder rücksubstituiert und man erhält die spezielle Lösungsfunktion y(t).

Das wärs!
=================================================

Nun wollen wir dies üben....

Aufgabe 43)

lösen sie folgendes AWP durch Laplace Transformationen!

a) y'+2y=2t-4 y(0)=1
b)3y'+2y=t y(0)=0
c)y'-y=e^t y(0)=1
d)y'+3y=-cos(t) y(0)=5
e)y'-5y=2*cos(t)-sin(3t) y(0)=0
f*)y'+4y=t³ y(1)=2
g)y'-3y=t*e^t y(0)=1

Aufgabe 44*)

Lösen sie folgende DGL's mit Laplace Transformationen allgemein!

a)y'-3y=4t*e^t
b)y'-4y=5*sin(t)

Dann haut mal rein Jungs!

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 20:23:

Hi

Nach mehrfachem verrechnen habe ich glaub ich die a) gelöst.

y(t)=3,5*e^-2t+t-2,5

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 21:00:

Hi Christian,

Aufgabe 43a) hast du richtig gelöst.

Ich hoffe das du keine Verständnisproblemen hast und dich nur so ausversehen verrechnet hast.

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 21:15:

Also bei 43c)
hätte ich y(t)=e^t*(t+1) heraus.

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 21:19:

Hi Niels

Ich denke verstanden hab ich es bis hierhin, waren ein paar dumme Rechenfehler. Hab jetzt erstmal die restlichen Aufgaben ohne Sternchen gemacht:
b) y(t)=3/4*e^-2/3*t+1/2*t-3/4
c) y(t)=(t+1)e^t
d) y(t)=53/10*e^-3t-3/10*cos(t)-1/10*sin(t)
e) y(t)=131/442*e^5t-5/13*cos(t)+1/13*sin(t)+3/34*cos(3t)+5/34*sin(3t)
Die war lang...
g) y(t)=5/4*e^3t-1/4*(1+2t)e^t

Bis hierhin erstmal

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 21:35:

f*) y(t)=1/4*(t-1)³+9/16*(t-1)²+15/32*(t-1)-43/128+239 /128*e^-4(t-1)

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 22:03:

Hi Christian und Ferdi,

zu den Ergebnissen:

43c)d)e)g) Korrekt, obwohl man bei einigen Ergebnissen durch ausklammern beispielsweise den Term noch hätte schöner darstellen hätte können.Außerdem hasse ich-wie jeder Mathelehrer-unechte Brüche wie die Pest. Brüche wie 53/10 kann man nun wirklich als 5,3 schreiben! Sieht finde ich besser aus.

Die Ergebnissse 43a)f*) werden noch einer genaueren Prüfung unterzogen-aus dieser Formulierung darf man aber noch keine Rückschlüsse ziehen.
Allerdings muss ich nochmal nachhacken:

Christina und Ferdi:

Warum hat die Aufgabe 43f) den Stern bekommen?
Was ist an der Aufgabe besonders und wie wirkt sich die Besonderheit auf die Berechung aus?

Ich gebe Zu das die Aufgaben diesmal zimlich fies sind. Schließlich kommen ja krumme Ergebnisse raus....Ich dachte mir auf den letzten Metern könnte ich euch nochmal schocken-Aber wenn das nicht ausreicht habe ich noch eine Überaschung auf Lager....

Bis Morgen dann!

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 22:17:

Hi Niels

Also bei f das besondere ist wohl, dass man nicht den Wert y(0) gegeben hat, sondern den Wert y(1). Ich habe mir das im Prinzip so überlegt, dass ich jetzt eine neue Funktion nehme
r(t):=y(t+1)
Dann war r(0)=y(1)=2
Dann hab ich r(t) berechnet und mit r(t-1)=y(t) dann schließlich y(t). Dabei muss man natürlich auch am Anfang statt g(t) die Funktion g(t+1) nehmen auf der rechten Seite der DGL.

Zu 44*)
a) y(t)=Ce^3t-(2t+1)e^t
b) y(t)=-5/17*cos(t)-20/17*sin(t)+Ce^4*t

Aber wenn das nicht ausreicht habe ich noch eine Überaschung auf Lager....

Ich freu mich schon drauf :-)

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 07:37:

Hi Christian,

ich sehe du lässt dich nicht so schnell aus der Bahn werfen:-)

Deine Begründung für 43f) ist richtig, und dein Verfahren was du beschreibst ist auch nicht schlecht, es kann aber höst fehlerintensiv sein, wenn man beispielsweise das zurückrechnen von
y(t+1) auf y(t) vergisst.

Eigentlich geht man wie folgt vor:

Das Motto ist, wenn man kein Anfangswert y(0) hat, dann schafft man sich ein:

Man denkt sich einfach ein!
Man setzt einfach y(0)=a

und rechnet damit nach dem oben von mir angegebenen schema F y(t) mit Hilfe der Laplace Transformationen aus!

Y(s)=(F(s)+a)/(s+a)
y(t)=L^-1[(F(s)+a)/(s+a)]

Da y(t) noch einen Reellen Parameter a enthält kann mann dann auch y(t) als allgemeine Lösung bezeichnen.
Wenn man nun beispielsweise Andere Anfangswerte hat, wie Beispielsweise y(1)=2 kann man jetzt über die genante AWP Bedingung aus der allgemeinen Lösung durch die Berechnung von a die spezielle Lösung ermitteln.

Aufgabe 44) Also ich habe hier zusammen mit mein Büchlein eine leicht abweichende Lösung. Ich glaube du hast irgendwo ein kleinen Fehler gemacht.

Aufgabe 43f) Bitte die klammern nach bin. Formel ausrechnen und die t-Terme neu zusammenfassen, ausserdem könntetst du mal den Vorfaktor der e-Funktion am Ende Dezimal ausrechnen. Dann könnte ich dir schneller sagen ob das Ergebnis korrekt ist.
Aufgabe 43b) Wie lautet dein Y(s)?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 10:44:

Hi Niels

Das Motto ist, wenn man kein Anfangswert y(0) hat, dann schafft man sich ein:

Man denkt sich einfach ein!
Man setzt einfach y(0)=a

Das war mir bei der 44 dann auch aufgefallen, dass man das so machen kann :-)

Aufgabe 44)
Hier finde ich meinen Fehler nicht, hab das auch grad mal in die DGL eingesetzt und es kommt das richtige raus.

43f) Hoffe mal ich hab mich nicht verrechnet beim ausmultiplizieren:
y(t)=1/4*t³-3/16*t²+3/32*t-63/128+239/128*e^-4t+4
bzw.
y(t)=1/4*t³-3/16*t²+3/32*t-63/128+101,945*e^-4t

43b)
Y(s)=1/[(3s+2)*s²]

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 11:23:

Ich hab bei 43)f) etwas leicht anderes raus:

f(t)=(1/4)*t³-(3/16)*t²+(3/32)*t-(3/128)+101,95*e^-4t

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 11:38:

Hi Ferdi

Hast recht, da muss ne 3 statt 63 stehen.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 13:43:

Hi Christian,

Also 43b)f) sind nun auch korrekt. Allerdings wäre es eleganter gewesen alle Faktoren vor den t's auf einen gemeindamen Nenner zu bringen und dann auszuklammern.Dann hättest du auch nur den Schönheitspreis gewonnen:-)

Zu Aufgabe 44)

Meine Lösung lauten:

44a)y(t)=-(1+2t)*e^t+(1+a)*e^3t
44b)y(t)=-(5/17)*[4*sin(t)+cos(t)]+[(5/17)+a]*e^4t

Du erkennst die leichten veränderungen meines mit dem Buch identischen Ergebnisse, allerdings denke ich kann das dadurch entstanden sein, dass du dein Verfahren und nicht das von mir später vorgeschlagen verwendet hast.Von dem Begriff "Fehler" würde ich Abstand nehmen wollen.

Sind bis hier noch Fragen?

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 15:00:

Hab auch alles so. Von mir aus kanns weitergehen.

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 20:42:

Tja Freunde,

was euch nun erwartet ist euch hoffentlich klar:

Das lösen lin. DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten durch Laplace Transformationen
===============================================

Im Grunde ist das das gleich Schema wie oben:

Wir haben die DGL und die AWP's:

y''+ay'+by=g(t) y(0);y'(0)

Bezeichnungen:

L[g(t)]=F(s)
L[y(t)]=Y(s)
L[y'(t)]=s*Y(s)-y(0)
L[y''(t)]=s²*Y(s)-s*y(0)-y'(0)

Diese Terme eingesetze-die DGL also "transformiert":

s²*Y(s)-s*y(0)-y'(0)+a*[s*Y(s)-y(0)]+b*Y(s)=F(s)
s²*Y(s)+asY(s)+bY(s)=F(s)+s*y(0)+a*y(0)+y'(0)
(s²+as+b)*Y(s)=F(s)+(s+a)*y(0)+y'0)
Y(s)=(F(s)+(s+a)*y(0)+y'0))/(s²+as+b)
y(t)=L^-1[(F(s)+(s+a)*y(0)+y'0))/(s²+as+b)]

Das ist im Grunde die ganze Rechnung, die euch wohl nicht vom Hocker hauen wird-das ist auch noch nicht die versprochene Überraschung:-)

Übrigens, wenn keine y(0), y'(0) vorhanden sind oder andere AWP's vorliegen-Beispielsweise y(1)=3 und Y'(2)=5 Dann kann man wie bei
der DGL 1. Ordnung y(0)=a und y'(0)=ß setzen und die obige Rechnung erst allgemein durchführen und dann die speziellen Werte für a und ß ausrechnen.

Wie man dann DGL's n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lösen kann könnt ihr euch ja vorstellen-auf was läuft das wohl hinaus?
=================================================

It's Training Day....

Aufgabe 45)
Lösen sie folgende DGL durch Laplace Transformationen!

a)y''+2y'+y=9*e^2t y(0)=0;y'(0)=1
b)y''+2y'+y=cos(2t) y(0)=1;y'(0)=0
c)y''+4y=0 y(0)=2;y'(0)=1
d)y''+6y'+10y=0 y(0)=0;y'(0)=4
e)y''+y'=e^-2t y(0)=0;y'(0)=1
f)y''+2y'-3y=2t y(0)=1;y'(0)=0
g)y''+2y'+y=t+sin(t) y(0)=1;y'(0)=0

Aufgabe 46*)
Lösen sie folgende DGL's mittels Laplace Transformationen allgemein!

a)y''+2y'+y=t
b)y''-2y'-8y=e^2t

Augabe 47*)
Leiten sie en Detail die Formel für die Thomson'sche Schwingungsgleichung her, mit der man die Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises berechnen kann! (Lehrbuchmethode!)

Aufgabe 47 dient als Überleitung zum Leckerbissen-worauf es hinauslaufen wird zum Abschluss will ich euch noch nicht verraten. Ich wünsch mir aber eine Lösung wie mann sie in jeden guten Oberstufen Physikbuch findet-ohne Laplace Transformationen-wie man es per Laplace löst will ich ja euch zeigen...
Ich weis nicht ob ich diese Aufgabe schon gestellt habe, wenn ja, dann bescheidsagen-dann gehen wir direkt zu den physikalischen Anwendungen der Laplace Transformationen so zusagen.
Das wäre dann unser Exkursabschluss!
Falls es Probleme noch bei der Lösung der DGL's geben sollte werde ich aber euch mit ein Haufen weiterer Übungsaufgaben belästigen, darauf könnt ihr wetten:-)

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 11:09:

So,

hab grad Englisch geschrieben. Meine letzte Klausur. "Golden Jubilee" und Bedeutung der Queen für die Engländer, naja...

Zur Entspannung hab ich mal 45c) versucht:

y(t)=2*cos(2t)+(1/2)*sin(2t)

mfg

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 11:33:

So, eine noch, dann leg ich mich ersmal schlafen:

45d) y(t)=4*e^-3t*sin(t)

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 13:12:

Hi Ferdi,

Aufgabe 45c) uund 45d) hast du ganz cool und ganz entspannt richtig gelöst.

Heute habe ich meine letzten Klausuren zurückbekommen, kommenden Mittwoch gibt es dann Zeugnisse und danach kommt halt das mündliche Abi....

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 13:24:

Hi

45)
a) y(t)=e^2t-(2t+1)e^-t
b) y(t)=4/5*t*e^-t+28/25*e^-t-3/25*cos(2t)+4/25*sin(2t)
e) y(t)=1/2*e^-2t-2e^-t+3/2
f) y(t)=-2/3*t-4/9+7/36*e^-3t+5/4*e^t
g) y(t)=t-2+5/2*t*e^-t+7/2*e^-t-1/2*cos(t)

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 13:32:

46)
a) y(t)=-2+t+C₁e^-t+C₂t*e^-t
b) y(t)=-1/8*e^2t+C₁e^-2t+C₂e^4t

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 13:43:

Aufgabe 47)

Erstmal nimmt man an, dass die Summe von magnetischer und elektrischer Energie im Schwingkreis konstant ist.
Außerdem gilt
u_C+u_L=0
Wobei u_C die Spannung am Kondensator und u_L die Spannung an der Spule ist.
u_C+u_L=0
<=> q(t)/C+L*i'(t)=0
Ableiten
i(t)/C+L*i''(t)=0
Damit haben wir jetzt unsere DGL 2.Ordnung.
Als Ansatz kann man wählen
i(t)=î*sin(wt)
Damit wir aus der DGL
(1/C-Lw²)î*sin(wt)=0
Das ist immer Null für
T=2p*Wurzel(LC)
bzw.
f=1/T

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 16:49:

Hi Christian,

Aufgabe 45) Alles richtig gelöst-Aufgabe 45d) fehlt noch!!!

Aufgabe 46a) richtig
Aufgabe 46b) falsch (Ich glaube du willst mir ein paar Terme "unterschlagen")

Aufgabe 47) Korrekt! Aber zu 47) komme ich noch später.

Wieso wurde Aufgabe 45) noch nicht bearbeitet? gibz es da etwa Probleme?

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 17:40:

Mitnichten! 45d) habe ich doch schon erledigt! Werde mich auch mal an die 46 ransetzen!

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 17:47:

Hi Ferdi,

tschuldigung stimmt ja 45c) und 45d) hattest du ja schon erledigt!
Das paaiert halt wenn man nicht richtig hinguckt!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 21:30:

Hi,

ich hab bei 46b) aber auch das von was Christian hat. Ich könnte höchstens die Konstanten in Abhängigkeit von a und b angeben.

Mein Y(s) lautet hier:
[as²+sb-(4a+2b-1)]/[(s-2)*(s+2)*(s-4)]

woraus dann mein Part.bruchz. entsteht! Vielleicht liegt hier schon der Fehler.

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 14:49:

Hi Ferdi,

du hast recht, ich bin in meinem Buch in einer Zeile verrutscht. Das Ergebnis stimmt dann so, auch wenn mir ein Ergebnis in Abhängigkeit von a und ß besser gefallen hätte.

Dann können wir ja zum Endspurt ansetzen...

Gruß N.

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 18:23:

Ok,

Aufgabe 47) war als überleitung gedacht-nun kommt der Hauptteil:

Anwendungen von Laplace Transformationen in der Technik(Teil 1)
================================================

Wir wollten uns ja den Reihenschwingkreis anschauen. Wir haben also einen in Reihe geschalteten Schwingkries bestehend aus einer Spule der Induktivität L und einem Kondesnsator der Kapazität C. Es sollen folgende Bezeichnungen gelten:

u_a=u_a(t)...von außen angelegte Spannung
u_c=u_c(t)...Spannung am Kondensator
u_L=u_L(t)...Spannung an der Spule
q=q(t)...Ladung am Kondensator
i=i(t)...Sromstärke im Reihenschwingkreis

Preisfrage: Welchen Zusammenhang besteht zwischen i(t) und q(t) ?

Gruß N.
=================================================

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 19:27:

Hi,

ich bin so ehrlich und gebe zu , dass das für mich ein wenig zu weit geht. Ich muss mal mein altes Physikbuch raussuchen. Wundert euch nich, falls ich mich ein wenig zurückhalte, liegt halt schon knapp 3 Jahre zurück, meine letzte Physikstunde... Anwendungen der Laplacetransformation für Chemie gibts wohl nicht?

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 19:46:

Hi Ferdi,

Anwendungen der Laplace Transformationen für Chemie sind mir nicht bekannt. Aber meine Frage ist relativ einfach:
Unter der Stormstärke versteht man doch den Quotienten aus Ladung und Zeit.

deltea(I)=(delta(q))/delta(t)) Oder noch kürzer:

I=q'

Die Stromstärke ist die Ableitung der Ladung nach der Zeit. Wie kann man nun aber die Ladung am Kondensator noch darstellen-außer den Differentialquotienten?

Gruß N

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 12:15:

So Freunde,

die Antwort die ich gern gehört hätte wäre folgende.

Wenn die Stromstärke die Ableitung der Ladung nach der Zeit ist, dann gilt:

Die Ladung ist das Zeitintegral der Stromstärke

q(t)=ò_-¥^t i(t)dt

Da erst zum Einschaltzeitpunkt t=0 eine konstante Spannung von außen angelegt werden soll und der Schwingkreis zu beginn energielos sein soll, muss sowohl q(t) als auch i(t) zu beginn gleich Null sein. Wir zerlegen daher das Zeitintegral:

q(t)=ò_-¥^t i(t)dt=ò_-¥⁰ i(t) dt+ò₀^t i(t) dt

Das blaue Integral ist Null, q(0)=0 was übrig bleibt für unsere weiteren Betrachtungen ist das rote Integral.

Es gilt das Induktionsgesetz:

u_L=L*(di/dt)

Sowie die Definition der Kapazität eines Kondensators:

C=q(t)/u_c=>u_c=(1/C)*q(t)

Wenn mann nun noch für q(t) das Integral einsetzt erhält man:

u_c=(1/C)*ò₀^t i(t) dt

Nun kommt die "Maschenregel" ins Spiel:

u_c+u_L-u_a=0 bzw u_c+u_L=u_a

Wenn man nun u_a=u₀ setzt und für u_c und u_L einsetzt, dann erhält man eine putzige Gleichung:

L*(di/dt)+(1/C)*ò₀^t i(t) dt=u₀

Wir Mathematiker nennen eine solche Gleiching in der "nur das Beste drin vorkommt"-sprich Differentialquotienten und Integrale-wir nennen sowas eine Integro-Differentialgleichung, also eine Mischform aus Differentialgleichung und Integralgleichung.
Ja Herrschaften, und diese Integro-Differentialgleichung kann man mit Laplace Transformationen lösen!
Das ist doch eine tolle Aufgabe für euch!

Mein Tipp:
Dividiert zunächt die Gleichung durch L und setzt dann den Term w₀²=(1/LC). Danach wendet ihr den Ableitungssatz und den Integralsatz für Laplace Transformationen auf die Gleichung an!

Viel vergnügen dabei!

Gruß N.

ps: Ferdi, ich habe in meinen Unterlagen gestöbert und doch noch eine Aufgabe aus der Chemie gefunden. Wenn diese durch ist stelle ich sie euch....besser gesagt dir....

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 15:33:

Hi

Habs so gelöst:

L*(di/dt)+(1/C)*ò₀^t i(t) dt=u₀
<=> (di/dt)+(1/LC)*ò₀^t i(t) dt=u₀/L
<=> (di/dt)+w₀²*ò₀^t i(t dt)=u₀/L
Jetzt Laplacetransformation:
s*F(s)+w₀²/s*F(s)=u₀/(L*s)
<=> F(s)=u₀/[L*(s²+w₀²)]
=> i(t)=u₀/(Lw₀)*sin(w₀t)

So, hoffe mal das stimmt...

MfG
C. Schmidt

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 15:39:

Also also ich hab jetzt hier ein wenig rumgerechnet nach Niels' seinen Tipps, meine Laplacetransformierte heißt:

F(s)=u₀/(L*(s²+w₀²))

Dann käme ich nach Rücktransformation auf:

i(t)=[u₀/(L*w₀)]*sin(w₀t)

mfg

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 15:42:

Da sind wir uns ja schonmal einig :-)

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 15:58:

Hi Ferdi und Christian,

das ist zwar ein richtiges Ergebnis, aber noch nicht das Endergebnis-Ihr müsst noch entwas den Vorfaktor umformen....

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 16:43:

Man man man,

dir kann mans auchnie recht machen ;-)

mit w²=1/LC ==> w=Ö(1/LC)

also:

i(t)=u₀*Ö(C/L)*sin{wt}

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 16:08:

Hi Ferdi,

tut mir leid, aber ich bin immer noch nicht ganz zu frieden.Aus mathematischer Sicht ist der Term fertig, aber aus technischer Sicht ist er noch ein Stück weiter umformbar.

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 16:21:

Vielleicht einfach

i(t)=î*sin(wt)
mit î als Scheitelstromstärke?

MfG
C. Schmidt

(Beitrag nachträglich am 11., Mai. 2003 von Christian_s editiert)

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 17:38:

Hi Christian,

wir reden hier nicht über Effektivwerte-aber dein Ansatz ist nicht schlecht....

oder was verstehst du unter "Scheitelstromstärke"?

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 17:58:

Hi Niels

Unter Scheitelstromstärke verstehe ich eigentlich nur die maximale Stromstärke, die der Strom annimmt. Und für die schreibt man ja î, genau wie für die Scheitelspannung û. Ich weiss aber jetzt wirklich nicht, was ich noch ändern soll...
Am besten du sagst es uns ;)

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 18:23:

Hi Christian,

hier mein Änderungswunsch:

i₀=u₀*Ö(c/L}

Mein i₀ entspricht dann dein î . Dennoch hättte ich gerne einen Beweis von dir für diese Relation. Erstens möchte ich wissen wie du darauf kommst und zweitens musst du das auch Ferdi genauer erklären...

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 19:16:

Ehrlich gesagt weiss ich nicht was du noch hören willst.
Scheitelwert ist doch einfach der größte Wert, den die Stromstärke annimmt.
Nach unserer Formel gilt
i(t)=u₀*sqrt(C/L)*sin(wt)
Den größten Wert nimmt i an, wenn der sinus 1 wird, nämlich
u₀*sqrt(C/L)
Und das war dann halt mein î, ist ja konstant.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 20:30:

Hi Christian,

genau das wollte ich hören. Damit sind wir fast am Ende des Exkurses, Morgen folgen dann die letzten 3. Aufgaben und ich denke dann können wir uns erstmal ruhig zurücklehnen...

Gruß N.

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 20:32:

Sehr gut

Übermorgen fahr ich nämlich für eine Woche in den Urlaub.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 672
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 20:58:

Hi Christian,

dann wünsche ich schon mal an dieser Stelle Dir einen schönen Urlaub!!!

Was ich noch vergessen habe zu sagen, neben den 3 Aufgaben die Morgen folgen und ich denke auch gelöst werden können bitte ich euch schonmal über ein "Featback" nachzudenken:

1) Wie hat euch der Exkurs/ die Exkursreihe durch die Differentialgleichungstheorie gefallen?
2) Denkt ihr das euch der Exkurs/ die Exkursreihe etwas für euer "späteres Leben" gebracht hat?
3) War der Lernstoff immer gut verständlich oder zu theoretisch/praktisch bezogen?
4) War der Lernstoff/ das Thema zu schwer für wissbegierige Schüler des 12. oder 13. Jahrgangs?
5) Hat der Exkurs/ die Exkursreihe das gehalten was der "Dozent" versprochen hat? wurden eure erwartungen an den Exkurs/ die Exkursreihe erfüllt?
6) Halten sie die Menge an Lernstoff für angemessen oder hat ihenen ein Thema gefehlt? Oder wurde das was in diesen Rahmen machbar war erreicht/erfüllt?
7) War die Exkurszeit/die Exkursreihenzeit von knapp 3 Monaten angemessen oder zu lange?
8) Was halten sie von den didaktischen Fähigkeiten des "Dozenten"?
9)Gibt es sonst irgendwelche konstruktive Kritikpunkte oder Verbesserungsvorschläge?
10) Würden sie an weiteren Exkursen/Exkursreihen zu einem gegf. späteren Zeitpunkt zu anderen Themenbereichen aus der Mathematik (bsp: algebraische Gleichungen) teilnehmen wollen oder finden sie diese Form des Exkurses für derlei Zwecke für unangemessen und unbrauchbar?

Wenn ihr in euren "Abschlussstatement" mehr oder weniger ausführlich auf diese 10 Leitfragen eingehen würdet, wäre ich sehr verbunden.

Ihr könnt sonst mir alles was ihr mir sagen wollt als "Featback" hier im Forum oder privat an meine Mail-Adresse mitteilen.
So wie ich euch in den 3 Monaten kennen gelernt habt, sind wir wenigstens auf mathematischer Ebene auf einer Wellenlinie und wenn ihr wollt können wir uns ja auch mal privat eine bischen Kontakten. Das müsst ihr wissen, ich bin für alles offen.

Soviel für Heute.

MfG

Niels Luithardt

Klaus (kläusle)

Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 436
Registriert: 08-2002

Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 06:48:

Hi Niels!

Ich hab' mich zwar schon seit ne geraumen Weile von diesem Exkurs mangels Zeit verabschiedet, möchte dennoch auch ein Statement abgeben, wenn auch ein Kurzes:

Ich fand den Exkurs sehr interessant. Man ist nun zwar kein Meister der DGL's, aber man kann doch nun eine ganze Menge im Bereich der DGL's machen.
Auch wenn ich so früh aus dem Exkurs ausgestiegen bin, hat er mir für später was gebracht. Im nächsten Semester kommen in Mathematik zum größten DGL's dran. Somit habe ich einen kleinen Einblick gehabt und kann beruhigt dem entgegensehen.
Der Lernstoff war meist verständlich. Theoretisch zumindest. (ich verrechne mich immer sooft:-( )
Die Exkurslänge wäre für mich, wenn ich drei Monate dabeigewesen wäre, zu lange gewesen. 2 Monate sind meiner Ansicht nach enough.
Die didatktischen Fähigkeiten von dir, Niels, sind soweit ich es einschätzen kann, gut bis sehr gut. Ich finde, du hast es meist erfolgreich verstanden, das Gewollte "rüberzubringen".

An weiteren Exkursen hätte ich Interesse, wenngleich mir nur in den Semsterfreien Zeit zur Verfügung steht.

Nochmal ein dickes Lob an Niels!
Ein ebenso großes Dankeschön an Niels!

MfG Klaus

Niels (niels2)

Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 673
Registriert: 06-2001

Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 08:48:

Hallo alle zusammen,

erstmal vielen dank Klaus für dein Statement!!!

Ich fand den Exkurs sehr interessant. Man ist nun zwar kein Meister der DGL's, aber man kann doch nun eine ganze Menge im Bereich der DGL's machen.

Das ist doch schon was!!
Ich habe in der Tat auf tiefergehende Theorie verzichtet und meist nur Verfahren erklärt die zum Ziel führen. Die reine Theorie wird dann an der Uni gelehrt. Dann habe ich ja denke ich in diesem Punkt mein Ziel erreicht. Wichtig ist, das ihr jetzt in der Lage seid gewisse DGL's zu lösen-den tieferen Sinn müsst ihr noch nicht verstehen.

Die Exkurslänge wäre für mich, wenn ich drei Monate dabeigewesen wäre, zu lange gewesen. 2 Monate sind meiner Ansicht nach enough.

Tja, ich gebe zu die Zeit war etwas lang; hätten wir lin. Differentialgleichungssysteme und Laplace Transformationen als Themenbereich weggelassen wäre die Exkurszeit extrem kürzer gewesen. Allerdings wirst du dich im Semester über DGL's auch länger damit beschäftigen müssen als 2 Monate. Das Thema ist eben so umfangreich, das ich finde das wir jetzt mit knapp 3 Monaten einen vernünftigen Abschluss gefunden haben.

Die didatktischen Fähigkeiten von dir, Niels, sind soweit ich es einschätzen kann, gut bis sehr gut. Ich finde, du hast es meist erfolgreich verstanden, das Gewollte "rüberzubringen".

Das freut mich!!! Dann könnte ich doch darüber nachdenken ob ich Mathematik auf Lehramt studiere. Sonst hätte ich vieleicht mich auf Mathematik auf Diplom spezialisiert.

An weiteren Exkursen hätte ich Interesse, wenngleich mir nur in den Semsterfreien Zeit zur Verfügung steht.

Das ist schön, dann kann ich ja demnächt Planungen aufnehemen.

Nochmal vielen Dank für dein Statement Klaus!
Und vielen Dank für deine Teilnahme an Teilen dieser Exkursreihe!

MfG

Niels

Christian Schmidt (christian_s)

Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 1271
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 12:03:

Hi Niels

Ich werde dann auch mal die 10 Punkte beantworten.

1) Mir hats sehr gut gefallen, besonders der letzte Teil mit den Laplacetransformationen.
2) Ich will ja Mathe- und Physik studieren, von daher hats auf jeden Fall was gebracht. In Mathe wird es zwar denke ich einiges theoretischer werden, aber gerade in Physik sollte es einem das Leben etwas erleichtern :-)

3) Ich denke ich habe alles was wir gemacht haben verstanden(hoffe ich jedenfalls :-)). Und zum Verhältnis Theorie/Praxis. Ich denke wir haben hier einen guten Mittelweg gefunden, um nicht nur Uni-Stoff zu machen, aber dennoch schonmal ein bißchen in Richtung Uni zu gehen.
4) Ich finde bis zu den Laplacetransformationen wars für wissbegierige Schüler auf jeden Fall zu verstehen. Man sollte halt Differential- und Integralrechnung verstehen.
Bei den Laplacetransformationen wurde es dann ein bißchen schwieriger, weil auch ein paar Beweise drankamen. Zum Beispiel der Teil mit den periodischen Funktionen.
5) Da wir einiges gelernt haben, hat der Exkurs meine Erwartungen auf jeden Fall erüllt.
6) Hier muss man denke ich ein wenig unterscheiden. An einer Uni wird man sicher nicht so lange mit gewöhnlichen DGLs beschäftigen, aber für Schüler war die Zeit denke ich angemessen.
7) Man muss ja hier auch bedenken, dass wir nicht jeden Tag irgendwas gemacht haben. Es war ja auch mal etwas Pause dazwischen. Außerdem haben wir ja alle bis auf Klaus "nebenbei" unser Abi geschrieben. Von daher war die Zeit angemessen.
8) Da schließe ich mich Klaus an. Übrigens ist es nicht so entscheidend, ob du dein Studium jetzt auf Lehramt oder Diplom anfängst, weil die Studiengänge sehr ähnlich sind. Ich kenne jemanden, der hat vor drei Jahren glaube ich angefangen Mathe auf Lehramt zu studieren und will jetzt doch lieber ein Diplom haben und Doktor werden.
9) Also hier hätte ich nur einen Verbesserungsvorschlag. Betrifft aber eigentlich nicht den Exkurs, sondern das Forum. Ich fände es einfach besser, wenn in einem Thread zum Beispiel nach 50 Einträgen eine neue Seite aufgemacht wird. Dann öffnet man halt den Thread und oben(oder irgendwo anders) stehen dann die Seitenzahlen.
10) Ich würde sicher an anderen Exkursen teilnehmen. Es kommt halt auch ein bißchen aufs Thema an.
Deshalb frage ich hier schonmal.
Was würde denn zum Beispiel bei "algebraischen Gleichungen" drankommen?
Was mich hier übrigens auch interessieren würde ist die Gammafunktion, da weiß ich ja, dass du da einiges zu kennst :-)

Hoffe hiermit die 10 Punkte einigermaßen beantwortet zu haben.

MfG
C. Schmidt

Christian Schmidt (christian_s)

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Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 12:03:

Bedanken möchte ich mich natürlich auch noch.

MfG
C. Schmidt

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 16:46:

Hi Freunde,

es folgen die letzeten 3 Aufgaben, auch wenn sie relativ einfach sind:

Aufgabe 48) Betrachtung einer Chemischen Reaktion:

Ein Atom des Typs A vereinigt sich mit einem Atom B zu einem Molekül AB(A+B->AB) Die Anzahl der Atome zu Beginn der Reaktion (t=0) beträgt a bzw. b. Nch der Zeit x=x(t) ist eine gewisse Anzal von Molekülen AB entstanden. Dann lässt sich die chemische Reaktion durch die DGL 1. Ordnung:

dx/dt=k*(a-x)*(b-x)

beschreiben. (k="Geschwindigkeitskonstante")

a) Lösen sie die DGL mit der Bedingung a ungleich b und x(0)=0 !
(Hinweis: Muss nicht Laplace Transformationen sein!)

b) Wann kommt mathematisch gesehen die Reaktion zum Stillstand?(Annahme: a>b)

Aufgabe 49)

Ein Körper besitzt zur Zeit t=0 die Temperatur T₀ und wird in der Folgezeit durch vorbeiströmende Luft der konstanten Temperatur T_L gekühlt(T₀>T_L). Der Abkühlungsprozess wird dann laut Newton durch die folgende DGL beschrieben:

dT/dt=-a*(T-T_L)

wobei gilt a>0.

a) Bestimmen sie den zeitlich Verlauf der Körpertemperatur T für den Anfangswert T(0)=T₀ (Hinweis: muss nicht mit Laplace gelöst werden!)

b) Gegen welchen Endwert strebt die Körpertemperatur?

50) in einem RC-Stromkreis (Reihenschaltung aus ohmschen Wiederstand R und Kondensator mit Kapazität C ) genügt die Stromstärke i=i(t) folgender Integro- Differentialgleichung

R*i+(1/C)*ò_-¥^t i(t) dt

a) Leiten sie die oben genannte Integro-Differentialgleichung her!

b)Lösen sie die Integro Differentialgleichung unter den Annahmen a) Es herscht eine konstante äußere Spannung u_a=u₀ b) Zum Einschaltzeitpunkt t=0 ist der Stromkreis energielos !
================================================

So Herschaften, das sollten die letzten Aufgaben zu diesem Thema gewesen sein!

Gruß N.

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 17:09:

Hi Christian,

vielen Dank für deine ausführliche Stellungname. Dann war ja meine Mission ein Einblick in die Welt der DGL's zu geben erfolgreich und keine "Mission impossible".

Deine Anregungen des Formus betreffend würde ich der Technik mitteilen. das dürfte nicht so schwer werden das umzusetzen-denke ich...

zu den Exkursthema "algebraische Gleichungen":

Inhalt wäre:

-das Lösen von algebraischen Gleichungen 1-4 Grades(Wobei natürlich der Schwerpunkt Gleichungen 3. und 4. Grades bilden würden. Sprich Cardano, Ferrari, Bombelli und das "Bauer-Luithardt Verfahren"...)
-Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
-Einblick in die Galois-Theorie
-spezielle Gleichungen 5. Grades(und nicht nur die Schulbekannten Sonderfälle...)
-*Verbindung algebraische Gleichungen und Ebener Trigonometrie(Berechnung regelmäßiger N-Ecke,(Eudoxus), Relationen)

Das mit einen * gekenzeichnete Unterthema kann, muss aber nicht mitbehandelt werden.

Voraussetzungen für den Exkurs wären:

-Grundwissen Komplexe Zahlen
-Grundwissen Analysis bzw ggf. Analytische Geometrie (Geometrie).

Also alles Dinge, die ein gestandener Abiturient können sollte.

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 21:22:

Also,

ich hab grad mal die erste versucht komme da auf so was:

x(t)=[ae^kt(a-b)-a]/[(a/b)e^kt(a-b)-1]

Das kommt mir Spanisch vor, daher hier noch mein Weg:

dx/((a-x)*(b-x))=k*dt
[ln(a-x)/(a-b)]+[ln(b-x)/(b-a)]=kt

und dann nach x aufgelöst...

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 07:25:

Hi FErdi,

das Ergebnis mag dir spanisch vorkommen, ist aber vollkommen korrekt!
Du solltest vieleicht noch den Bruch (a/b) im Nenner beseitigen und im Zähler ein a ausklammern....

Und wie sieht es mit der zeit aus wenn die Reaktion zum Stillstand kommt?

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 11:49:

Also dann komme ich auf

x(t)=[ba*(e^kt(a-b)-1)]/[ae^kt(a-b)-b]

Also sogesehen kommt die Reaktion doch nie zum Stillstand, oder? Der Graph der Funktion verläuft asymptotisch zu b für t->¥.

mfg

Klaus (kläusle)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 12:38:

HI!

Exakt!
Die Reaktion kommt nie zum Stillstand!
Man spicht von einem DYNAMISCHEN GLEICHGEWICHT.

Das bedeutet, die Geschwindigkeit der Hinreaktion entspricht der Geschwindigkeit der Rückreaktion.
Daher das asymptotische Verhalten der Funktion...

MfG Klaus

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 694
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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 12:59:

Ja, das kommt mir doch bekannt vor:

Stichworte: Massenwirkungsgesetz, Gleichgewichtsreaktionen, Prinzip von Le Chatelier.

Damit(und noch vielem anderen ;-)) werde ich mich jetzt erstmal beschäftigen, denn morgen um 11 Uhr ist Mündliche Prüfung in Chemie. Danach werd ich mich auch mal an die anderen Aufgabe setzen.

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 15:06:

Hi Klaus und Ferdi,

ihr habt es erfasst.

Ferdi, ich wünsche dir viel Erfolg morgen bei deiner mündlichen Prüfung!

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 13:30:

Hi,

bei 49 hab ich

T(t)=T_L+(T₀-T_L)e^-at

das heißt am Ende strebt die Temperatur gegen T_L für t->¥.

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 17:02:

Hi Ferdi,

Aufgabe 49) hast du nun auch richtig gelöst. Jetzt wartet nur noch Aufgabe 50) und die hübsche Integro Differentialgleichung auf eine Lösung.
Das bekommst du auch noch hin!

Gruß N.

ps:

Wie war die mündliche Prüfung?
Ich habe dir übrigens eine e-mail geschickt. würde mich über eine Antwort freuen.

Ferdi Hoppen (tl198)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 18:00:

Kann ich dieses Integral in der Integro-Dgl auch aufspalten wie oben?

Dann bekomme ich:

i(t)+1/RC*ò₀^t i(a) da =u₀/R

Insgesamt also:

i(t)=u₀/R*e^-t/RC

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 18:12:

Hi Ferdi,

das umformen des Integrals war ja der Witz an der Sache!

Was meinst du warum ich die Annahme postuliert habe das der Stromkreis zur Zeit t=0 energielos sein soll...
Dann kannst du eben der Argumentation beim Schwingkreis folgen und das Integral aufspalten.

Damit ist die Aufgabe gelöst! Auf die Herleitung der Formel können wir verzichten wenn kein Interesse daran besteht.
Damit können wir den Exkurs schließen.

Noch Fragen Ferdi?

Gruß N.

Ferdi Hoppen (tl198)

Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 702
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 18:41:

Tja, das wars dann wohl mit Laplace Transformationen...

Ich hab im Moment keine Fragen mehr! Das waren drei schöne Monate mit den Dgls.

Freue mich schon auf eventuelle andere Exkurse...
Aber jetzt fahr auch ich erstmal in den Urlaub!

mfg

Niels (niels2)

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 18:54:

Hi Ferdi!

Gut, dann schließe ich hiermit offiziell den Exkurs bzw. die Exkursreihe.

Mir haben die 3 Monate mit DGL's und Laplace auch sehr gefallen und ich möchte mich nochmal recht herzlich für eure Teilname bedanken.

Weitere Exkurse sind in Planung!

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Nochmal ein Dankeschön an euch!

mfg

Niels

ps: Ferdi ich habe dir noch ein e-mail geschrieben...

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Informationen: Exkurs: Laplace-Transformationen (Tei... | Soforthilfe Mathematik | Online Mathebuch | Bronstein

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