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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 21:25: | 
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Nach den DGL-Systemen gehts hier weiter mit den Laplacetransformationen. Die anderen Teile gibts hier:
Teil 1
Teil 2
Teil 3
Teil 4
Teil 5
MfG
C. Schmidt
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 567
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 17:00: |
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Hallo Kollegen,
es geht los:
in diesem weiteren "Anschlussexkurs" geht es wie gesagt um Laplace Transformationen.
Eine Grundsätzliche Fragen sind wohl:
1.) Was haben Laplace-Transformationen mit Differentialgleichungen zu tun?
2) Was sind Laplace Transformationen?
3) Wie rechne ich mit Laplace Transformationen?
Diesen 3. Fragen wollen wir nun zunächst mal nachgehen:
Was haben Laplace Transformationen mit Differentialgleichungen zu tun?
================================================
Nun, die Menschen hatten mal einen Traum-wir hatten einen Traum-Ich hatte einen Traum....
Wäre es nicht schön wenn wir Differentialgleichungen in allgebraische Gleichungen umwandeln könnten?
Man stelle sich das vor:
Statt einer linearen Differentialgleichung löst man einfach eine lineare Gleichung-Das wäre doch Traumhaft!!
Und dieser Traum wird-dank Laplace Transformationen-wahr!
Wie das ganau funktioniert wollen wir in den nächsten Tagen, Wochen klären!
=================================================
Das erstmal als Einstieg;
Ich hoffe ich habe keine weiteren Fragen aufgeworfen.
Ihr könnt aber gerne noch ein paar Grundsatzfragen von euch aus anhängen.
Mein Exkurs soll ja keine Vorlesung sein, sondern eine Diskussion zwischen interessierten.
Der Exkurs ist wieder vor jedermann und auch die Voraussätzungen halten sich in Grenzen!
Mathematische Vorraussetzungen:
-Allgemeine Kenntnisse über Differential und Integralrechnung(Gymnasiale Oberstufe 12/13 Jahrgang)
Es sind keine Vorkenntnisse über Herrn Laplace und seine Transformationen notwendig!!!
Sonst wäre ich ja bald arbeitslos und müsste stempeln gehen; Das könnt ihr mir doch nicht antun!:-)
Gruß N.
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 572
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 14:52: |
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so es geht weiter:
Was sind Laplace-Transformationen?
====================================
Wir betrachten nun einen zeitlich veränderlichen Vorgang, der zur ´Zeit t=0 den sogenanten "Einschaltzeitpunkt beginnt, und durch eine Funktion f(t) mit f(t)=0 für t<0 beschrieben wird.
Die Funktion f(t) wird als Originalfunktion oder auch Oberfunktion bezeichnet. Die Menge aller Originalfunktionen wird als Originalbereich oder Originalraum bezeichnet.
Definition:
Die Funktion
F(s)=ò0 ¥ f(t)*e-st dt
heißt die Laplace-Transformierte der Funktion f(t). Symbolische schreibweise:
F(S)=L[f(t)]
F(s) wird als Bildfunktion oder Unterfunktion bezeichnet. Die Menge aller F(s) wird als Bildbereich oder Bildraum bezeichnet.
Die Transformationsvorschrift selbst, das Integral, wird als Laplace-Integral bezeichnet.
Bei der symbolischen Shreibweise, wir das "L" als Laplace-Transformationsoperator bezeichnet.
Originalfunktion f(t) und Bildfunktion F(s)=L[f(t)]bilden ein zusammengehörendes Funktionspaar, eins sogenante Korrespondenz.
Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation. Das uneigentliche Integral, das sog. Laplace-Integral existiert nur unter gewissen Vorraussetzungen.Darauf soll aber hier speziell nicht eingegangen werden.Alle Funktionen die wir hier verwenden machen keine Probleme.Dies ist nur ein vorsorglicher Hinweis...
=================================================
Aufgabe 1)
Bestimmen sie die Laplace-Transformierte der "Sprungfunktion"
f(t)=0 für t<0
f(t)=A für t>=0
Aufgabe 2)
Bestimmen sie die Laplace-Transformierte der Funktion
f(t)=0 für t<0
f(t)=t für t>=0
Aufgabe 3)
Bestimmen sie die Bildfunktion zu den Funktionen
a)
f(t)=0 für t<0
f(t)=t² für t>=0
b)
f(t)=0 für t<0
f(t)=sin(t) für t>=0
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1140
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:10: |
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Hi!
Aufgabe 1)
F(s)=ò0 oo f(t)e-st dt
F(s)=C für t<0
F(s)=-A/s für t³0
C ist Integrationskonstante.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 578
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:16: |
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Also wenn ich das richtig verstanden habe,
dann gilt bei Aufgabe 1)
ò0 ¥ A*e-st dt
das liefert mir nach Integration und Gernzübergang
A/s
Also dann: L[f(t)]=A/s
Is so richtig verstanden?
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1141
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:17: |
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Hast recht, bei mir das "-" is falsch.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 579
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:37: |
|
Ok, bei Aufgabe drei b) hab ich mich jetzt mal versucht:
F(s)=ò0 ¥ sin(t)*e-st dt
liefert nach Integration und Grenzübergang:
1/(s2+1)
Also L[f(t)]=1/(s2+1)
muss ich t<0 überhaupt berücksichtigen?
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1142
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:46: |
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Zu 2)
Hier hab ich
F(s)=1/s²
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1143
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:50: |
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Bei 3a) hab ich
F(s)=2/s³ und bei 3b) hab ich das gleiche wie Ferdi raus.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 573
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 16:39: |
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Hi Ferdi,
du hast alles Korrekt verstanden, die Fälle t<0 braucht ihr aber nicht zu berücksichtigen. Sie waren dazu gedacht euch erstmal zu verwirren.
@Christian:
Nach Anfangsschwierigkeiten hast du es auch richtig verstanden.
Ihr seit echt spitze!
Überigens, die "Rücktransformation" wird mit
L-1[f(t)] bezeichnet. Genauso wie der Arcussinus auf den Taschenrechner mit
Sin-1 bezeichnet wird.
Dann können wir ja demnächst zu den Allgemeinen Eigenschaften der Laplac-Transformationen kommen.
Wie gesagt, alle Aufgaben wurden richtig gelöst.
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 21:29: |
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so Kolegen,
ich habe noch eine kleine Aufgabe für euch vor dem Zu Bett gehen:
Aufgabe 4)
Bestimmen sie die Bildfunktion zu der Funktion:
f(t)=0 für t<0
f(t)=cos(t) für t>=0
Aufgabe 5)*
Berechnen Sie die Bildfunktion zum "Rechteck Impuls", der definiert ist durch:
f(t)=0 für t<a
f(t)=A für a<t<b
f(t)=0 für t>b
=================================================
Besonders schwere Aufgaben haben sich bei mir ein Sternchen verdient...
viel Spaß!
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1145
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 21:58: |
|
Hi!
Aufgabe 4)
F(s)=s/(s²+1)
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1146
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 22:11: |
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Aufgabe 5)
Hier muss man erstmal a³0 voraussetzen, damit man eine Originalfunktion hat(Außer bei A=0).
Dann würde ich einfach eine Fallunterscheidung machen.
F(s)=0 für t<a und t>b
F(s)=A/s für a<t<b
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 578
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 22:42: |
|
Hi Christian,
Aufgabe 4) Korekkt gelöst!
Aufgabe 5) Falsch!
Das ist ja eine ganz billige Masche, sich per Fallunterscheidung vor der Rechnerei zu drücken!
Bitte noch einmal versuchen!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 583
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 09:20: |
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Hm,
also ich hab mich auch mal versucht:
Man kann ja die Funktion als Differenz zweier Sprungfunktionen sehen.
Dann erhalte ich als Bildfunktion:
F(s)=A/s*(1-e-as)
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 579
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 10:24: |
|
Hi Ferdi,
du bist an der Lösung näher dran als Christina, aber auch dein Ergebnis ist falsch!
Beispielsweise müsste doch in der Bildfunktion irgendwo ein "b" auftauchen.
Das Laplace Integral
ò0 ¥ f(t)*e-st dt
gilt nur für f(t) für t>=0 d.h für das Intervall
[0;¥] auf der f(t) eindeutig definiert ist.
So, nachdem ich mal wieder mit einer ganzen Palette von Dachlatten gewunken habe sollte die Aufgabe lösbar sein!
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1148
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 10:46: |
|
Hi!
Dann würde ich mal folgenden Lösungsvorschlag machen:
F(s)=A/s*(e-as-e-bs)
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 585
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 10:51: |
|
Ok, dann muss man das Integral wohl aufspalten??
Dann bekomme ich nämlich als Lösung:
F(s)=A/s*(e-as-e-bs)
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 581
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:10: |
|
Hi Freunde,
eure Lösungen für Aufgabe 5) sind jetzt korrekt!
Zustzfrage:
Was passiert mit der Bildfunktion und Originalfunktion im Grenzwertübergang a->0 und
b->¥ ?
Eigentlich eine Kindergartenfrage nicht war?
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1149
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:19: |
|
Hi!
Dann hat man im Prinzip wieder Aufgabe 1).
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 582
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 12:25: |
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Hi christian,
die Antwort ist richtig!
Weiter geht es:
Wir wollen uns nun der 3 Frage zuwenden:
Wie rechne ich mit Laplace Transformationen?
=================================================
Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir uns anschauen, welche Eigenschaften die Laplace-Transformationen besitzen.
Dann fangen wir mal an:
Allgemeine Eigenschaften der Laplace Transformationnen
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
1. "Liniarität" (Satz über Linearkombinationen)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Behauptung:
L[C1*f1(t)+C2*f2(t)+...+Cn*fn(t)]=C1*L[f1(t)]+C2*L[f2(t)]+...+Cn*L[fn(t)]
Aufgabe 6)
Beweisen sie diese Behauptung!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 7)
Bestimmen sie die zu f(t)=-5t²+3t+3*cos(t) zugehörige Bildfunktion!
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1150
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 12:31: |
|
Hi!
Aufgabe 6)
ò0 ¥ [C1*f1+...+Cn*fn]e-st dt
=ò0 ¥ C1*f1*e-st+...+Cn*fn*e-st dt
=C1ò0 ¥ f1*e-st dt +...+Cnò0 ¥fn*e-st dt
Folgt also aus den normalen Regeln für Integrale.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1151
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 12:36: |
|
Mit der Linearität ergibt sich dann auch Aufgabe 7), weil wir die einzelnen Summanden oben schon berechnet haben.
F(s)=-10/s³+3/s²+3s/(s²+1)
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 583
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 13:23: |
|
Hi Christian,
deine Lösungen für Aufgabe 6) und 7) sind vollkommen richtig!
Ich hatte didaktisch klug Aufgabe 1)-4) so gewählt, damit man Aufgabe 7) super einfach lösen kann!
Kann es dann weiter gehen?
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1152
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 13:28: |
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Von mir aus schon 
Bin gespannt wie man jetzt von den Laplacetransformationen zu Lösungen von DGLs kommt.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 586
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 13:33: |
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Kann weiter gehen...
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 586
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 20:56: |
|
Hi Freunde,
in der Ruhe liegt die Kraft!
wir müssen erst noch ein paar allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformationen besprechen.
2. der Ähnlichkeitssatz
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wir wollen nun die Funktion g(t)=f(at) untersuchen. Es handelt sich hierbei um die um einen Faktor a gestreckte Funktion längs der t-Achse. Man kann aber auch wenn man geanau sein will und den Faktor genauer betrachtet für a<1 von einer Dehnung und für a>1 von einer Stauchung der Funktion längs der t-Achse sprechen.
Es gilt:
L[g(t)]=L[f(at)]=ò0 ¥ f(at)*e-st dt
Substitution:
u=at=>du/dt=a=>dt=du/a
ò0 ¥ f(at)*e-stdt=ò0 ¥ f(u)*e-(s/a)*u(du/a)=(1/a)*ò0 ¥ f(u)*e-(s/a)udu
=(1/a)*F(s/a)
(natürlich für a>0)
Und das ist die ganze Formel:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 8)
Bestimmen sie die Bildfunktionen zu:
a)f(t)=sin(at)/a
b)f(t)=cos(at)
viel Vergnügen!
Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 590
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 09:32: |
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Bei 8b
hätte ich zu bieten:
F(s)=s/(s2+a2)
Muss man den hier umbedingt mit Substitution arbeiten? Denn ò eax*cos(bx) dx ist ein Standardintegral aus meiner Schulformelsammlung...
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 587
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 12:41: |
|
Hi Ferdi,
Aufgabe 8b) ist richtig gelöst.Was deine Frage betrifft.
Natürlich nicht. Allerdings würde mich interessieren wie die im Schulbuch das "Stadartintegral" hergeleitet haben.
Alle Funktionen die ich verwenden werden, sollten als Standartintegrale in Integraltabellen zu finden sein.
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1156
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 12:56: |
|
Bei 8a) hätte ich
1/(s²+a²)
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 589
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 13:34: |
|
Hi Christian,
8a) ist auch richtig!
Aufgabe 9)
Berechnen sie zu f(t)=eat die Bildfunktion!
Nach der Aufgabe noch eine Frage,
darf der Dozent seine arbeit fortsetzen oder gibt es noch Fragen zum "Ähnlichkeitssatz"?
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 591
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 13:47: |
|
Aufgabe 9)
F(s)=1/(s-a)
Von mir aus kanns weitergehen...
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1157
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 15:19: |
|
Hi!
Ich hab eine Frage zu Ferdis Lösung. Man hat ja:
ò0 ¥ eate-st dt
=ò0 ¥ e(a-s)t dt
=[1/(a-s)*e(a-s)t]0¥
Wenn s größer als a ist bekomme ich das gleiche raus wie Ferdi. Wenn s aber kleiner als a ist konvergiert das Integral nicht mehr. Müsste man dann nicht sagen, dass F(s) nur für s>a definiert ist??
Sonst kanns von mir aus auch weitergehen.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 15:35: |
|
Hm,
ich habs so gerechnet:
Ich hab das anders umgeformt, damit das Minus erhalten blieb:
ò e-(s-a)t dt
Es muss wohl tatsächlich s>a gelten...
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 591
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 21:11: |
|
Hi Ferdi und Christian,
ihr habt recht, die Bedingung hätte ich wohl vorher nennen sollen.
Wenn dann alles geklärt ist, geht es Morgen weiter.
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 592
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 17:39: |
|
Weiter gehts:
3. Die Verschiebungssätze
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Es gibt 2 Verschiebungssätze; Man kann ja bekanntlich eine Funktion f(t) längs der t-Achse nach rechts oder links verschieben.Für jeden dieser Fälle gibt es eine bestimmte Formel!
Wir fangen mit der Verschiebung nach rechts an:
3.1 erster Verschiebungssatz
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Originalfunktion: f(t)=0 für t<0
Wir verschieben nun f(t) um die Strecke a (a>0) nach rechts.
Wir gehen also nun von der Funktion g(t)=f(t-a)
g(t)=0 für t<a
L[g(t)]=L[f(t-a)]=ò0 ¥ f(t-a)*e-st dt
wir lösen das Integral durch Variablensubstitution:
u=t-a=>t=u+a=>dt=du
Man bedenke, das man nun auch die Integrationsgrenzen verändern muss.
Wir erhalten:
ò-a ¥ f(u)*e-s*(u+a) du
=e-sa*ò-a ¥ f(u)*e-su du
Wennn man jetzt noch das Integral zerlegt:
=e-sa*[ò-a 0 f(u)*e-su du +ò0 ¥ f(u)*e-su du]
Das rote Integral ist Null, das Blaue Integral entspricht F(s).
Das ist die ganze Formel!
L[f(t-a)]=e-as*F(s)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Eine Aufgabe zum Verschiebungssatz(Typ I)
Aufgabe 9)
Berechne die Bildfunktion zu f(t)=sin(t-a)
Gruß N.
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1158
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 18:07: |
|
Hi!
Ich hab bei Aufgabe 9)
F(s)=e-sa/(s²+1)
raus.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 18:43: |
|
Hi Christian,
Ich habe leider Gottes auch nichts anderes raus!
Muss dann wohl das richtige Ergebnis sein-oder findest du nicht?
Mal schauen was Ferdi dazu sagt...
Wenn sonst keine Fragen mehr sind geht es weiter...
Gruß N.
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 19:30: |
|
Hi,
ich hab hoit leider keine Zeit, bin ziemlich übel zugerichtet vom Fussball, muss mal ins Hospital gleich.
Aber wenn Niels sagt es ist richtig, dann können wir weitremachen, werde dann wohl kein anderes Ergebniss bekommen!
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1159
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 19:37: |
|
Im Prinzip wurde die Hauptrechnung ja schon weiter oben gemacht bei Aufgabe 3b). Hier muss man ja nur noch ein bißchen umformen bis man den Faktor e-sa vorm Integral stehen hat.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 18:50: |
|
Hi Kollegen,
tut mir leid, aber heute ist ein Ruhetag.Morgen geht es erst mit dem Exkurs weiter!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. April, 2003 - 17:42: |
|
So Kollegen,
habe heute eine relativ einfache Klausur über die relativ interessante Relativitätstheorie geschriegen.
Jetzt mit ich in relativ guter Stimmung um underen Exkrs fortzusetzen.Ich denke wir haben die Zeit genug "gedehnt".
Ich hoffe das ihr relativ viel freude bei den 2. Verschiebungssatz haben werdet, der ist nämlich relativ einfach:
3.2 zweiter Verschiebungssatz
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wir besprechen nun, was passiert, wenn wir eine Kurve um einen gewissen Wert a (a>0) nach
links verschieben.:
g(t)=f(t+a) f(t)=0 für t<0
L[f(t+a)]=ò0 ¥ f(t+a)*e-st dt
Wir substituieren:
u=t+a=>t=u-a
du=dt
t=0=>u=a
t=¥=>u=¥
ò0 ¥ f(t+a)*e-st dt=òa ¥ f(u)*e-s(u-a) du
òa ¥ f(u)*e-s(u-a) du=eas*{òa ¥ f(u)*e-su du]
ò0 ¥f(u)*e-sudu=ò0 ¥f(t)*e-stdt=F(s)
ò0 ¥f(u)*e-sudu=ò0 af(u)*e-sudu+òa ¥f(u)*e-sudu
òa ¥f(u)*e-sudu=F(s)-ò0 af(u)*e-sudu
eas*[F(s)-ò0 af(u)*e-sudu]=eas*[F(s)-ò0 af(t)*e-stdt]
L[f(t+a)]=eas*[F(s)-ò0 af(t)*e-stdt]
eine relativ schöne Formel, net war?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
So, das waren die Verschiebungssätze!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 596
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. April, 2003 - 17:48: |
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Ach, ich Idiot habe die Aufgabe vergessen:
Aufgabe 10)
Berechne die Bildfunktion zu f(t+2)=t+2
a) Mit hilfe des Satzes über Linearkombinationen
b) Mit hilfe des "Verschiebungssatzes"
Gruß N.
|
Ferdi Hoppen (tl198)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 07:56: |
|
F(s)=(2s+1)/s2
mfg |
Niels (niels2)
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Benutzername: niels2
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 13:06: |
|
Hi Ferdi,
korrektes Ergebnis, gratuliere!!
Gibt es noch Fragen, oder können wir zum "Dämpfungssatz" kommen?
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 13:24: |
|
Von mir aus kanns weitergehen...
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 15:00: |
|
Von mir aus kanns auch weitergehen.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 15:31: |
|
So Kollegen,
dann wollen wir mal ein Spurt zu Ostern einlegen:
4. Der "Dämpfungssatz"
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Die Originalfunktion f(t) mit f(t)=0 für t<0 soll nun exponentiell gedämpft werden. Dies bedeutet, das f(t) mit der Exponetialfunktion
e-at multipliziert werden.Wir haben also die Funktion g(t)=e-at*f(t) mit g(t)=0 für t<0 zu bearbeiten.Das ist wieder super einfach zu berechnen für uns:
L[g(t)]=L[e-at}*f(t)]=ò0 ¥e-at*f(t)*e-st dt
=ò0 ¥f(t)*e-(s+a)t dt=F(s+a)
eine wirklich putzige Formel!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 11)
Bestimmen sie zu f(t)=e3t*sin(t) die Bildfunktion!
Aufgabe 12)
Bestimmen sie zu f(t)=ebt*(sin(at}/a)
Aufgabe 13)
Bestimmen sie zu f(t)=ebt*cos(at) die Bildfunktion.
Aufgabe 14)
Bestimmen sie zu der Funktion f(t)=t*eat die Bildfunktion!
Viel Spaß mit diesen relativ einfachen Aufgaben!
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 16:37: |
|
Hi
11)
F(s)=1/[(s-3)²+1] ; s>3
12)
F(s)=1/[(s-b)²+a²] ; s>b
13)
F(s)=(s-b)/[(s-b)²+a²] ; s>b
14)
F(s)=1/(s-a)² ; s>a
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 17:59: |
|
Hi Christian,
alle Ergebnisse sind mal wieder einwandfrei!
Übrigens, kleiner Tippfehler von mir:
Bei Aufgabe 11) muss es natürlich
f(t)=e3t*sin(t) heißen. Aber den kleinen Tippfehler von mir hast du ja glücklicherweise richtig interpretiert.
Kann es weitergehen?
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 18:05: |
|
Kann weitergehen.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 603
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 19:37: |
|
Jo, hab auch alles so, kann weitergehen.
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 20:46: |
|
Prima Kolegen,
dann setzen wir die "mündliche Abiturprüfung" fort:
Diesmal sollen die "Ableitungssätze" Thema seien, an ihnen werdet ihr sehen warum eigentlich die Differentialgleichungen mit hilfe von "Laplace-Transformationen" so elegant und einfach zu lösen sein werden.
Allerdings gibt es auch hier verschiedene Sätze:
Man kann ja die Originalfunktion differenzieren und die Bildfunktion differenzieren. Die Fälle müssen schon unterschieden werden! Aufi gehts....
5. Die "Ableitungssätze"
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.1. Die Ableitung der Originalfunktion
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Nun wollen wir also f'(t) untersuchen:
Es gilt:
L[f'(t)]=ò0 ¥ f'(t)*e-st dt
Dieses Integral lösen wir per "partieller Integration" im Handumdrehen:
Substitutionen:
u=e-st=>u'=-s*e}+{-st}
v'=f'(t)=>v=f(t)
aus der Formel für die "partielle Integration" folgt:
ò0 ¥ f'(t)*e-st dt=-f(0)+s*F(s)
oder auch:
L[f'(t)]=s*F(s)-f(0)
eine elegante Formel nicht war?
Achtung:
Ist f(t) eine "Sprungfunktion" mit Sprungstelle bei t=0, so sind für
f(0), f'(0),...,f(n-1)(0) jeweils die rechtsseitigen Grenzwerte einzusetzen!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 15)
a) Leiten sie die Formel für die Originalfunktion f''(t) her!
b) Wie lautet die Formel für die n-te Ableitung von f(t) ?
Aufgabe 16)
Leiten sie die Laplace Transformierende
für f(t)=cos(t) her, indem sie die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion betrachten!
Aufgabe 17)
Bestimmen sie die Laplactransformierende der Funktion
a)f(t)=2t
b)f(t)=2
indem sie a) als 1. Ableitung von f(t)=t² und b)als 2. Ableitung von f(t)=t² auffassen!
c)Bestimmen sie die zu a) gehörende Laplac Transformierende zur Sicherheit mit dem "Ähnlichkeitssatz"!
d) bestimmen sie die zu b) gehörende Laplace Transformierende mit hilfe der Definition der Laplace Transformationen!
Viel Erfolg!
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 21:27: |
|
Hi
Hab erstmal eine kurze Frage.
ò0 ¥ f'(t)*e-st dt=-f(0)+s*F(s)
Damit das gilt muss man aber doch folgendes voraussetzen:
lim(t->¥) f(t)*e-st=0
Was macht man wenn das nicht der Fall ist?
Aufgabe 15)
a) L[f''(t)]=s²*F(s)-f(0)-f'(0)
b) L[f(n)(t)]=sn*F(s)-Sn-1 k=0 f(k)(0)
MfG
C. Schmidt
|
Christian Schmidt (christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 21:33: |
|
16)
F(s) haben wir ja oben schon berechnet.
F(s)=1/(s²+1)
f(0)=sin(0)=0
Damit haben wir dann
L[cos(t)]=s/(s²+1)
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 21:46: |
|
17)
a) F(s)=2/s²
b) F(s)=2/s
c) Wie soll ich hier den Ähnlichkeitssatz anwenden??
Die Funktion wird doch gar nicht gestreckt. Wenn dann höchstens mit dem Faktor 1, aber dann bräuchte man ja den Ähnlichkeitssatz nicht.
d) Kommt das gleiche raus wie bei b)
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 604
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 23:06: |
|
Dem kann ich zu später Stunde nichts mehr hinzufügen...
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 601
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 17:12: |
|
Hi Christian,
Hab erstmal eine kurze Frage.
ò0 ¥ f'(t)*e-st dt=-f(0)+s*F(s)
Damit das gilt muss man aber doch folgendes voraussetzen:
lim(t->¥) f(t)*e-st=0
Was macht man wenn das nicht der Fall ist?
Ja, da hast du recht! Außerdem muss f(0) endlich sein.
Was man macht wenn das nicht der Fall sein sollte ist eine gute Frage. Dann kann man sich eine Knarre an den Kopf halten und abdrücken:-)
Nein im Ernst, in meinen Unterlagen habe ich nichts über diesen "GAU", der dann eintritt gefunden. Ich möchte auch hier wieder auf weitere speziell Literatur verweisen. Erlich gesagr bin ich in diesem Punkt überfragr. Aber keine Sorge, bei den Aufgaben die ich euch hier stelle wird dieser "Sonderfall" das der Grenzwer mal nicht die gewünschte Form besitzt, nicht auftreten. Also keine Panik auf der Titanic. Wir rechnen sowiso nur mit "angenehmen und freundlich gutmütigen Funktionen" *g*
c) Wie soll ich hier den Ähnlichkeitssatz anwenden??
Die Funktion wird doch gar nicht gestreckt. Wenn dann höchstens mit dem Faktor 1, aber dann bräuchte man ja den Ähnlichkeitssatz nicht.
Also ich hatte mir das folgendermaßen vorgestellt:
f(t)=t und f(2t)=2t
also dachte ich mir könnte man den "Ähnlichkeitssatz" für f(at) anwenden.
Das das unnötig ist, weis ich auch, aber idch dachte nur diese Aufgabe als spielerei um siech mit den Eigenschaften der Laplace-Transformationen vertraut zu machen.
Wenn es sonst keine Fragen mehr gibt gehts weiter!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
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Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 17:24: |
|
Achja,
natürlich sind alle deine Ergebnisse wiedermal korrekt!
Kann man ja auch ganz leicht selbst überprüfen, da ich ja mal wieder die Aufgaben praktischerweise so gewählt habe, das sie auf bekannten aufbauen...
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 607
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 17:25: |
|
Also, ich hab im Moment keine...
Kann weiter gehen...
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1173
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 17:36: |
|
Hi Niels
Von mir aus kanns weitergehen.
MfG
C. Schmidt
Mir ist gerade noch was aufgefallen zu meiner Frage. Man nimmt ja Laplace-Transformationen logischerweise nur, wenn das Integral ò0 ¥ f(t)e-st dt existiert bzw. dann kann man die Originalfunktion transformieren. Daraus folgt aber auch
lim(t->¥) f(t)e-st=0
Sonst würde das Integral ja nicht konvergieren.
(Beitrag nachträglich am 18., April. 2003 von Christian_s editiert) |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1174
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 18:00: |
|
Sorry, aber es kann doch noch nicht weitergehen 
Mir ist noch ein Fehler aufgefallen. Ich habe Aufgabe 15a) und b) falsch gelöst.
a)
L[f''(t)]=s²*F(s)-s*f(0)-f'(0)
b)
L[f(n)(t)]=sn*F(s)-Sn-1 k=0 f(k)(0)sn-1-k
Jetzt kanns weitergehen.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 603
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. April, 2003 - 17:21: |
|
Hi Kolegen,
Ich wünsche euch ein frohes Osterfest und möchte euch zur Feier des Tages ein kleines "Ei" ins Nest legen:
5.2 Die Ableitung der Bildfunktion
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
So, wir "schnappen" uns die Laplace-Transformation Definition:
F(s)=ò0 ¥ f(t)*e-st dt
und differenzieren beide Seiten nach s.
F'(s)=(d/ds)ò0 ¥ f(t)*e-st dt
Es gibt eine Regel, die besagt das wir, wenn wir Integrale differenzieren, den Differentialquotienten ins Integal ziehen dürfen:
F'(s)=ò0 ¥(d/ds) f(t)*e-st dt
Da nur eine Funktion des Funktionsprodukes, das den Integranden stellt, ein "s" besitzt, nämlich die e-Funktion, ist die e-Funktion die einzige Funktion auf die wir den Differentialquotienten anwenden können. Die Funktion f(t), wird, da sie eine Funktion von t und nicht von s ist einfach wie ein normaler konstanter Faktor behandelt, aber aus gewissen Gründen, die ihr sofort gleich einsehen wird, im Integral gelassen.
F'(s)=ò0 ¥(-t)*f(t)*e-stdt
F'(s)=L[-t*f(t)]
Und das ist das ganze Geheimnis!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 18)
a) Wie lautet die Formel für die 2. Ableitung der Bildfunktion
b) Wie lautet die Formel für die n-te Ableitung der Bildfunktion?
Aufgabe 19)
Bestimmen sie die Laplace Transformation von
g(t)=t*sinh(t) mit Hilfe des Ableitungssatzes indem sie zuerst die Laplace Transformation von
f(t)=sinh(t) bestimmen und dann den Ableitungssatz anwenden!
Aufgabe 20)
Bestimmen sie die Laplace-Transformierende der Funktion g(t)=t²*eat mit Hilfe des Ableitungssatzes!
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1178
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. April, 2003 - 18:00: |
|
Hi
Aufgabe 18)
a) F''(s)=L[t²*f(t)]
b) F(n)(s)=L[(-t)n*f(t)]
Aufgabe 19)
F(s)=L[f(t)]=-1/2*[1/(1-s)+1/(1+s)] für s>1
-F'(s)=L[g(t)]=1/2*[1/(1-s)²-1/(1+s)²]
Aufgabe 20)
Mit f(t)=eat hat man erstmal
F(s)=L[f(t)]=1/(s-a) für s>a
F''(s)=L[g(t)]=2/(s-a)³
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 610
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. April, 2003 - 18:26: |
|
Hm, bei 19a) hätte ich
L[f(t)]=1/(s2-1)
als Ergebniss raus...
Is ja dasselbe wie Christian, wie ich grad sehe...
mfg
(Beitrag nachträglich am 20., April. 2003 von tl198 editiert) |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 604
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. April, 2003 - 19:51: |
|
Hi Kolegen,
Also, erstmal muss ich wieder sagen, das Christians Ergebnisse und auch dein Ergebnis vollkommen korrekt sind bzw ist.
Allerdings gefällt mir Ferdis Fassung, der "Zusammengesetzte Term" besser als Christians darstellung. Aber das ist eben halt mein Geschmack und endert nichts an der Richtigkeit der Ergebnisse.
Frage:
Interessieren euch noch die "Integralsätze" oder nicht?
Mir persönlich ist das Egal, aber für unsere Zwecke, wofür wir die Laplace-Transformationen "missbrauchen" wollen, sind die Integralsätze unwichtig.
Ich würde sonst gerne mit den "Falltungssatz" weitermachen.
Danach üben wir ein klein wenig das Rücksubstituieren und dann ist es soweit.
Wir kommen wieder zu den Differentialgleichungen und der Kreis hat sich dann geschlossen.
Jetzt ist wieder eure Meinung gefragt!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 612
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 10:05: |
|
Also von mir uas können wir weitermachen, wenn es nicht unbedingt nötig ist...
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1179
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 10:26: |
|
Mich würde die Integration im Bildbereich noch interessieren. Wenn das zuviel ist, können wir das aber auch weglassen, ist ja für die weiteren Überlegungen nicht mehr nötig.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 606
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. April, 2003 - 09:04: |
|
Hi Kolegen,
gut, dann kümmern wir uns noch um die Integralsätze. Allerdings haben ich heute relativ wenig zeit. Spät Nachmittag geht es weiter.
Ich Habe erstmal im Internet ein kleine Liste mit "Korespondenzen" gefunden. Die könnt ihr ja euch mal anschauen.
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 607
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 14:45: |
|
Hi Kolegen,
ich hatte euch über Ostern fast vergessen:-)
Da ich heute wiedermal relativ wenig Zeit habe kommen hier nun die Integralsätze für Orignial und Bildfunktion. allerdings ohne Beweis.
6.1 Der Integralsatz für die Originalfunktion
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Für die Laplace Transformierte des Integrals
òa t f(u) du gilt:
L[òa t f(u) du]=(1/s)*[F(s)-ò0 a f(u)du]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 21)
Wie lautet die Formel, wenn die untere Grenze des Integrals a=0 ist ?
Aufgabe 22)
Leiten sie die Laplace Transformierende der Funktion f(t)=sin(t) her, indem sie die Funktion als Integral von f(u)=cos(u) auffassen!
viel Spaß!
Gruß N.
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1183
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 15:49: |
|
hi
Aufgabe 21)
L[ò0 t f(u) du]=F(s)/s
Aufgabe 22)
Liefert wieder das alte Ergebnis
1/(s²+1)
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 608
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. April, 2003 - 21:47: |
|
Hi Christian,
Natürlich sind deine Lösungen von Aufgabe 21) und 22) wiedermal vollkommen korrekt. kann man ja auch wie die Lösung von Aufgabe 22) leicht selbst überprüfen.
Morgen geht es dann mit den Integralsatz für die Bildfunktion weiter.
Übrigens, ihr müsst einfach nur bescheid sagen, wenn ihr wegen eures Abis ind die "Heiße Lernphase" eintretet. Ich möchte euch keineswegs bei euren Abiturvorbereitungen srören.Ich möchte nicht später dafür verantwortlich gemacht werden, wenn etwas bei der "Operation Abitur 2003" schiefgehen sollte. Wir könnten auch dann ggf. eine Pause einlegen. Ich bin da flexibel.
Ich dachte nur dies hier wäre eine gute Ablenkung vor dem Abitur.
Als ich vor meinem schriftlichen Abitur stand haben mich meine Schulfreunde dauernd verrückt gemacht mit ihren Aufzählungen, was sie alles angeblich gelernt hätten.
Das was im Abitur dran kommt könnt ihr sowiso und wenn man noch an einem Exkurs teilnimmt, bei den man sowiso immer wieder die gleich Floskel "Korrekte Lösung" hört, dann denke ich schaft das auch selbstvertrauen gestärkt in die Prüfung zu gehen. Oder wie seht ihr das?
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 614
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 10:06: |
|
Klar wir können weitermachen!
Wer brauch schon Abitur? Is doch eh alles nur Luxus ;-). Nein im Ernst, ich bin hier Nachhilfe Lehrer für Mathe Lk, das is echt schlimm, da tut Ablenkung ganz gut!
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1187
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 11:36: |
|
Ich bin auch dafür, dass wir weitermachen. Pause hätte ich lieber nach dem schriftlichen Abitur. Dann gibts nämlich übers Wochenende erstmal eine dreitägige Feier bei uns. Bin dann also nicht daheim.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 609
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 14:44: |
|
Okidoki, dann setzen wir unsere Spritztour durch die höhere Mathematik fort.
6.2 der Integralsatz für die Bildfunktion
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Für das Integral òs ¥ f(u) du einer Bildfunktion F(s) gilt:
òs ¥ f(u) du=L[(1/t)*f(t)]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 23)
a) Bestimmen sie die Laplace-Transformierende der Funktion f(t)=t³ mit Hilfe der Grunddefinition!
b) Anschließend bestimmen sie dann mit Hilfe des Ergebnisses aus a) und den Integralsatz 6.2 von der Funktion f(t)=t² die Bildfunktion!
Ich gebe zu die Aufgabe 23) ist von Theoretischer Natur, aber ohne den Falltungssatz und ohne das Zurücksubstituieren was wir noch üben müssen sind die integralsätze sowiso noch ohne große Anwendung. Das wird sich aber später Ändern!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 616
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 16:18: |
|
Wenn ich mich nich verechnet habe müsste
F(s)=6/s4
sein.
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 16:21: |
|
und für f(t)=t2 erhält man dann
F(s)=2/s3
wie erwartet!
mfg |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1188
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 16:32: |
|
Hab die gleichen Ergebnisse wie Ferdi.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 610
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. April, 2003 - 21:39: |
|
Das ist ja auch kein wunder, Ferdis Ergebniss und natürlich auch dein Ergebnis Christian sind natürlich einwandfrei und nicht zu beanstanden!
Morgen dann der "Falltungssatz", danach verlangen einige Grenzwerte Aufmerksamkeit und "periodische Funktionen" möchten auch noch von uns besprochen werden-hier soll keine Funktion zu kurz kommen....
Es gibt noch viel zu tun....
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 614
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 12:35: |
|
So, nun geht es weiter:
7. Faltungsprodukt-Faltungssatz
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Definition:
Unter dem Faltungsprodukt
f1(t)*f2(t) zweier Originalfunktionen
f1(t) und f2(t) versteht man das Integral:
f1(t)*f2(t)=ò0 t f1(u)*f2(t-u) du
Das Integral wird in der Fachliteratur auch als "Faltungsintegral" bezeichnet.
Und nun fragt ihr euch sicher wozu man diesen "Blödsinn" braucht, dann passt mal auf:
Faltungssatz:
Die Laplace Transformierte des Faltungsprodukts von f1(t)*f2(t) ist gleich dem Produkt der Laplace Transformierten von f1(t) und f2(t).
L[f1(t)*f2(t)]=L[ò0 t f1(u)*f2(t-u) du]=L[f1(t)]*L[f2(t)]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 24)
Bestimmen sie zu
a} F(s)=1/((s²+1)*s)
b) F(s)=1/(s²-4)
Die Originalfunktion!
Ihr seht schon, wozu dieser ominöse "Faltungssatz" uns hilfreich zur Seite steht-Bei Rücktransformieren. Das wird das Hauptthema der nächsten Beiträge sein!
Gruß N.
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1195
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 13:04: |
|
Hi
Bei a) hätte ich schonmal
f(t)=1-cos(t).
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1196
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 13:14: |
|
b)
f(t)=1/4*(e2t-e-2t)
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 615
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 13:50: |
|
Hi Christian,
beide Ergebnisse sind korrekt!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 21:02: |
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Da das alles anscheined zu einfach ist kommt nun ein echter Hammer:
8. Die "Grenzwertsätze"
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Anfangswert f(0) und Endwert f(¥) einer Origninalfunktion lassen sich, sofern sie überhaupt existieren, ohne Rücktransformation wie folgt durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion berechnen:
f(0)=lim(t->0)f(t)=lim(s->¥)[s*F(s)]
f(¥)=lim(t->¥)=lim(s->0)[s*F(s)]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aufgabe 25)
Beweisen sie die "Grenzwersätze"!
Aufgabe 26)
Gegeben sei F(s)=s/(s²+a²)
a) Bestimme den Anfangswert f(0) der zu F(s) gehörenden Originalfunktion mit Hilfe der Grenzwertsätze!
b) Bestimme den Anfangswert indem du erst die Originalfunktion bestimmst!(Hinweis: die Funktion müsste bekannt sein...)
Aufgabe 27)
Gegeben sei F(s)=((5s+12)/(s²+4s)
a) Bestimme den Endwert f(¥) der zu F(s) gehörenden Originalfunktion per Grenzwertsatz!
b) Ermittle die Zu F(s) zugehörige Originalfunktion und Bestimme dann den Endwert!
(Tipp: Partialbruchzerlegung von F(s)...)
Damit haben wir die Eigenschaften der Laplace Transformationen abgegrast!
Jetzt kommt eigentlich erst der richtig spannende Part.
Ich schlage vor es wird ein neuer Beitrag eröffnet mit den Titel: Exkurs: Laplace-Transformationen (Teil 2)
und nicht vergessen den 2. Teil mit diesem ersten zu verlinken!
Dort geht es dann mit den Laplace Transformationen periodischer Funktionen weiter und danach folgt ein Aufgaben Marathon um das "Rücksubstituieren" zu üben.Den hilfreichen Faltungssatz kennt ihr ja und wenn man dann noch etwas Partialbruchzerlegung beherscht sollte dieser Trainingsabschnitt locker zu schaffen sein...
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1201
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 21:50: |
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Hi
Aufgabe 25)
Es gilt ja L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
bzw.
lim(s->¥)ò0 ¥f'(t)e-stdt=lim(s->¥)[sF(s)-f(0)]
ò0 ¥lim(s->¥)f'(t)e-stdt=lim(s->¥)[sF(s)]-f(0)
ò0 ¥ 0 dt=lim(s->¥) [sF(s)]-f(0)
0=lim(s->¥) [sF(s)]-f(0)
f(0)=lim(s->¥) sF(s)
Das war Grenzwertsatz Nr.1
Grenzwertsatz 2 hab ich ähnlich gemacht.
lim(s->0)ò0 ¥f'(t)e-stdt=lim(s->0)[sF(s)-f(0)]
ò0 ¥lim(s->0)f'(t)e-stdt=lim(s->0)[sF(s)]-f(0)
ò0 ¥lim(s->0)f'(t)dt=lim(s->0)[sF(s)]-f(0)
f(¥)-f(0)=lim(s->0) [sF(s)] -f(0)
f(¥)=lim(s->0) sF(s)
Soweit erstmal. Mal sehen ob's stimmt.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1202
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 21:55: |
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Aufgabe 26)
a) lim(s->¥) s²/(s²+a²)=1=f(0)
b) Originalfunktion ist f(t)=cos(at).
cos(0)=1, die Grenzwertsätze werden also bestätigt
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1203
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 22:20: |
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Aufgabe 27)
a) lim(s->0) (5s²+12s)/(s²+4s)=3=f(¥)
b) (5s+12)/(s²+4s)=3/s+2/(s+4)
Damit ist die Originalfunktion
f(t)=3+2e-4t
Für t->¥ kommt das Ergebnis aus a) raus.
Man muss die Grenzwerte aber eigentlich doch immer durch die Originalfunktion überprüfen?
Außer man weiss halt, dass der Grenzwert bei der Originalfunktion existiert. Zum Beispiel bei der Funktion f(t)=cos(at). Laplacetransformierte ist ja
s/(s²+a²). Läßt man jetzt zum Beispiel s->0 laufen, so bekäme man f(¥)=0, was aber falsch ist. Die Grenzwerte bei der Bildfunktion können also existieren und die bei der Originalfunktion nicht ;)
MfG
C. Schmidt
Hier noch der Link zum zweiten Teil:
Laplace-Transformationen Teil 2
(Beitrag nachträglich am 26., April. 2003 von Christian_s editiert) |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 618
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 10:16: |
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Hi Christian,
du hast natürlich recht, nur wenn man weiß das die Grenzwerte bei der Originalfunktion existieren kann man ohne bedenken diese Grenzwertsätze anwenden. Allerdings arbeiten wir ja mit gutmütigen Funktionen, d.h. wenn ich nochmal so eine Aufgabe stelle könnt ihr sicher sein, das sie existieren. Aber sonst müsste man wie du schon gesagt hast erst die Existenz dieser Grenzwerte beweisen, bevor man sie explizit beweist.
Deine beiden Ansätze sind korrekt, dennoch habe ich etwas bei den Beweis von f(¥) auszusetzen:
In der Zeile
ò0 ¥lim(s->0)f'(t) dt=lim(s->0)[s*F(s)]-f(0)
Was soll der Limes noch im Integral?
in der Zeile zuvor hast du den limes doch schon gebildet!-sozusagen "verbraten"...
ò0 ¥f't)lim(s->0)e-stdt=lim(s->0)[s*F(s)]-f(0)
Der blue Term im Integral, der "blaue Grenzwert", im Integral ist doch wie du eine Zeile später richtig bemerkst gleich eins. Damit haben wir den Limes Ausdruck verarbeitet und können ihn in der nächsten Zeile weglassen, sodas nur noch dort steht:
ò0 ¥f'(t)dt=lim(s->0)[s*F(s)]-f(0)
der Rest des Beweises ist dann wieder ok!
Aufgabe 26) und Aufgabe 27) sind natürlich auch richtig!
Ist die Mathematik nicht einfach?
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1206
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 10:27: |
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Hi Niels
Hast recht, der limes ist natürlich zuviel. Lag daran, dass ich immer die vorige Zeile kopiert habe um nicht jede Zeile komplett schreiben zu müssen;)
Hab dann immer nur noch ein bißchen verändert und den limes wohl einfach stehengelassen.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 619
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 11:00: |
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Hi Christian,
macht ja nix, war ja nur so ein Hinweis von mir.
Ich wollte mich noch bei dir rechtherzlich für die Verlinkung bedanken. Der Exkurs wird nun auf den Seiten Laplace Transformationen Teil 2 fortgesetzt.
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Also, auf zum 2. Teil...
Gruß N. |
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