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Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. August, 1999 - 21:50: | 
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Wer kann helfen?
Ist jede auf einer nichtleeren Teilmenge D der reellen Zahlen definierte monotone Funktion f, mit der Eigenschaft, daß f(D) ein Intervall ist, stetig? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 1999 - 06:00: |
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monoton hat nichts mit stetig zu tun, z.B. ist eine Treppenfunktion auch monoton, aber eben nicht stetig ... |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 1999 - 13:32: |
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Die Antwort lautet also nein. Oder brauchst Du ein Beispiel?
Bodo |
Basti
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 1999 - 14:35: |
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Ich glaube nicht, daß Du ein Bsp. finden wirst, Bodo.
Die Sache müßte funktionieren, f(D) Intervall, also kompakt, ist schon ne ziemlich starke Voraussetzung...
Den Beweis sauber aufzuschreiben, macht glaube ich keinen Spaß, also hier nur die Grundidee:
Sei x0 aus D, e>0 beliebig (as usual).
Weil f(D) Intervall ist, gibt es x1 und x2 mit f(x1)=f(x0)-e/2 und f(x2)=f(x0)+e/2.
Wg. Monotonie ist x2 > x0 > x1 und f(x) liegt in [f(x0)-e/2 , f(x0)+e/2] für alle x aus [x1,x2]. Setze also d=Min(|x0-x1|,|x0-x2|)>0, dann ist |f(x)-f(x0)|<e für alle x mit |x-x0|<d, also f stetig.
Das war jetzt nicht ganz sauber, f(x0)+-e/2 muß noch in f(D) liegen, die Randpunkte muß man extra betrachten und wahrscheinlich auch den Fall f=const.
Aber auch damit funktioniert's problemlos (hoffe ich), der Beweis wird dann nur völlig unleserlich...
Gruß
Basti |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. August, 1999 - 18:06: |
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f(D) ist als Intervall zusammenhängend, aber i.a. nicht kompakt. Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. |
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