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Beitrag |
    
Markus (Kirsten)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 23:50: | 
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Hilfe wer kann mir bitte folgende Aufgaben lösen ?
Es ist jeweils x gefragt.
a) 2*sin x - tan x = 0
b) cos 2 x = cos x
c) tan x = cos x |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 21:51: |
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Hi Markus,
bekanntlich ist tan x = sin x / cos x,
und daher sin x = tan x * cos x. Das setze ich in a) ein und erhalte
2 * tan x * cos x - tan x = 0
<=> tan x * ( 2 cos x - 1 ) = 0
Daran sieht man: Nullstellen sind
erstens: die Nullstellen des Tangens, also alle x = k* p/2 (k e Z) und
zweitens: x = p/3 = 60°, denn cos 60° = 1/2.
Nun bei b) Vielleicht kannst Du es Dir mal aufmalen: cos(x) zwischen 0 und 2p
und cos(2x). Das 2x ergibt also Werte von 0 und 4p, d.h auf der Länge von 2p macht die Funktion cos(2x) doppelt so viele Schwingungen wie cos(x), also 2 engere Kosinus-Schwingungen.
Offensichtlich gilt für x= 0 + k*2p (keZ), denn Kosinus ist periodisch mit der Periode 2p.
Aber es gibt noch zwei andere Lösungen im Intervall [0, 2p].
Es gibt eine Formel cox 2x = cos2x - sin2x und eine andere Formel cos2x + sin2x = 1. [ Den Beweis dazu nur bei Bedarf].
Damit zunächst: cos2x - sin2x = cos x
<=> cos x * ( cos x - 1 ) = sin2x
und dann weiter:
<=> cos x * ( cos x - 1 ) = 1 - cos2x
<=> cos x * ( cos x - 1 ) = (1 - cos x)*(1 + cos x)
<=> - cos x * ( 1 - cos x) = (1 - cos x)*(1 + cos x)
Diese Gleichung gilt für x=0 (s.o.)
und dann, wenn 1 + cos x = - cos x
<=> cos x = -1/2. Letzteres gilt für x = p +/- p/3, also für 120° und 240°.
Also gilt b) im Intervall [ 0, p[ für xe{0, 2p/3, 4p/3 }.
Nun c) tan x = cos x
<=> sin x / cos x = cos x
<=> sin x = cos2x
<=> sin x = 1 - sin2x
<=> sin x * ( 1 + sin x ) = 1
Substituiere x = arcsin y
Dann y2 + y -1 = 0
=> y1,2= (-1 +/- w(5)) / 2
Dann ist arcsin y1 = + 38.1727...°
und arcsin y2 = geht nicht.
Aber aus Symmetriegründen probiere ich mal 180° - 38.1727... und dafür ist auch tan x = cos x.
So ganz glücklich bin ich mit der Herleitung der Lösung nicht. Vielleicht hilft es Dir aber trotzdem, und vielleicht hat ja noch jemand anderes eine viel einfachere Lösung.
Gruß
Matroid |
Percy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 18:52: |
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Hallo Markus und Matroid,
hier sind Meine Vorschläge:
w...Wurzel
2*sinx-tanx=0
sinx-(sinx/W(1-sin²x))=0
2*sinx*W(1-sin²x)-sinx=0
W(4*sin²x-4*sin4x)=sinx..|²
4*sin²x-4*sin4x=sin²x
Substitution:
sin²x=u
-4u²+3u=0
u*(-4u+3)=0
->u=0->sin²x=0->sinx=0 x=k*pi
u=3/4 Sinx=W(3/4)=pi/3=60°
=============================================
cos(2x)=cosx
2*cos²x-1=cosx
Substitution cosx=u
2u²-1=u
2u²-u-1=0
u²-0,5x-0,5
u=0,25+-W(0,0625+0,5)
u=0,25+-0,75
cosx=1 x0k*pi
cosx=-0,5 x=4*pi/3;2*pi/3
=====================================
c)
tanx=cosx
(w(1-cos²x)/cosx)=cosx
W(1-cos²x)=cos²x
Substitution:
cos²x=u
w(1-u)=u
1-u=u²
u²+u-1=0
u=-0,25+-w(0,0625+1)=0,78077..
Substitution Rückgängigmachen...etc:
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Gruß N. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 20:01: |
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Hab' nachgerechnet.
In c ist also cos x = 0.7877...
=> x = 38,...°
Schön, daß die Ergebnisse übereinstimmen.
Aber Achtung: bei b) muß man auch die Lösung x=0 finden!
Tschau
Matroid |
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