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Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 21:39: | 
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Hallo,
ich habe folgende Textaufgabe bekommen, und hab null Ahnung, wie ich die lösen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen kann.
Einem Kreis mit Radius r wird ein Quadrat einbeschrieben, diesem Quadrat wieder ein Kreis, dem Kreis ein Quadrat usw.
a) Wie gross ist die Summe aller Kreisflächen der einbeschiebenen Kreise?
b) Wie gross ist die Summe der Flächen aller einbeschriebenen Quadrate?
Vielen Dank für die Hilfe! |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 00:54: |
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Mein Tip für die Lösung: jeweils doppelt so groß wie der Ausgangskreis / das Ausgangsquadrat, also bei
a) 2pr2
und bei b) 4r2
Begründung tippe (ächz) ich nach Rückmeldung ein. |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 08:11: |
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Hallo B.Bernd,
danke für die Antwort.
Für eine kurze Begründung wäre ich auch sehr dankbar!
Gruss
Frank |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 05:21: |
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Wir überlegen uns:
begonnen wird mit einem Kreis, er heiße "nullter Kreis" sein Radius ist ja r, den nenne ich hier aus sogleich einsichtigem Grund erstmal r0
Das "nullte" Quadrat soll in den Kreis hinein, also ist dessen Diagonale gleich dem doppelten Kreisradius 2r0, die Quadratseite a0 ist nach Pythagoras a0 = r0Ö2
Der erste Kreis kommt ins nullte Quadrat, hat Radius r1, der halb so groß wie die Quadratseite a0 ist, also r1 = r0(Ö2)/2 = r0/Ö2
Das erste Quadrat kommt in den ersten Kreis, hat Seitenlänge a1 = r1Ö2 = a0/Ö2
Der nächste Kreis kommt ins erste Quadrat, hat Radius r2 = a1/2 = r1/Ö2 = r0/(Ö2)2, ebenso hat das nächste Quadrat die Seitenlänge a2 = a0 / (Ö2)2.
Betrachtet man sich jetzt die Folge der Kreisradien: r0, r0/Ö2, r0/(Ö2)2, ...
und die der Seitenlängen der Quadrate: a0, a0/Ö2, a0/(Ö2)2, ...
so stellt man fest:
Der Kreisradius von einem zum nächstkleineren Kreis wird also immer durch Ö2 geteilt, also allgemein hat der n-te Kreis einen Radius von r0/(Ö2)n, genauso wird die Seitenlänge von einem Quadrat zum nächstkleineren immer durch Ö2 geteilt und das n-te Quadrat hat eine Seitenlänge von a0/(Ö2)n.
Gefragt ist die Summe aller a) Kreis- b) Quadrat-
flächen, also aller pri2 für alle Werte von ri für i von Null bis Unendlich
ich weiß nicht, ob das Summenzeichen von jedem Browser gleich gut dargestellt werden kann,
also "S ¥ i=0..." bedeutet "Summe für i gleich Null bis Unendlich von..."
a) K = S ¥ i=0 prn2 = S ¥ i=0 p(r0 / Ö2n)2 = pr02S ¥ i=0 (1 / 2)n
b) Q = S ¥ i=0an2 = a02S ¥ i=0 (1 / 2)n
Nach der Summenformel für die unendliche geometrische Reihe (Beweis z. B. durch vollständige Induktion) gilt
S ¥ i=0qn = 1/(1-q), also mit q = (1/2), S ¥ i=0(1/2)n = 1/(1-(1/2)) = 2
Also ist a) K = pr02*1/(1-q) = 2pr02
und b) Q = a02*1/(1-q) = 2a02
da r0 = r war, bleibt Formel in a) so stehen:
a) K = 2pr2
und mit a0 = rÖ2 folgt für
b) Q = 4r2
also jeweils doppelt so viel wie der Flächeninhalt der "nullten" Figuren. |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 13:27: |
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Danke, Du hast mir sehr geholfen. Und verstanden habe ich es jetzt auch.
Gruss
Frank |
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