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Jasmin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Mai, 2000 - 20:01: | 
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Hi, Leute! Bin an folgender Aufgabe hängengeblieben:
Sei f: R gegen R definiert durch f(x):= (-x_3+ 3x +2)/ (x(x_2- x- 2), falls der Nenner 0 ist.
f(x)= 0 nur dann, wenn der Nenner= 0 ist.
a) In welchen Punkten a Element aus R ist f stetig, in welchen unstetig?
b) Sei A:=(a Element aus R| f ist stetig in A) die Menge der Stetigkeitspunkte von f. In welche Unstetigkeitspunkte a Element aus R^#92;A lässt sich g:= f|A (also f eingeschränkt auf A) stetig fortsetzen?
Vielen Dank für eure Hilfe. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 07:26: |
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Hallo Jasmin,
Bevor man an diese Aufgabe herangeht, muss klar sein, was gegeben und was gefragt ist.
Sei f: R gegen R definiert durch f(x):= (-x_3+ 3x +2)/ (x(x_2- x- 2), falls der Nenner 0 ist.
Nehmen wir mal an -x_3 bedeutet -x³ und x_2 bedeutet x².
Was aber bedeutet: (x(x_2- x- 2) ?
Ist die Funktion nur dort definiert wo der Nenner 0 ist? |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 17:40: |
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x(x_2- x-2) ist der gesamte Ausdruck im Nenner, ausgesprochen bedeutet es: Klammer auf x Klammer auf x hoch 2 minus x minus 2 Klammer zu. Vorher habe ich den Ausdruck falsch hingeschrieben.
Falls dieser Nenner ungleich 0 ist, ist f(x) der beschriebene Bruch. Falls dieser Nenner gleich 0 ist, ist f(x)= 0.
Danke für deine Mühe. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 19:47: |
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Hallo Jasmin,
Also wenn ich dies jetzt richtig überblicke, so ist:
a) f stetig auf R außer x=0 und x=2.
f ist unstetig in den Punkten x=0 und x=2.
b) Im Punkt x=2 läßt sich die Funktion stetig fortsetzen. |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 20:55: |
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Hallo, Fern! Danke für die Hilfe. Kannst du mir bitte auch kurz erklären, wie du auf diese Lösung gekommen bist, da ich solche Aufgaben ja auch dann in der Prüfung lösen muss. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 00:12: |
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Hallo Jasmin,
Zuerst untersucht man
f(x)=(-x³+3x+2)/(x(x²-x-2)) ohne die zusätzlichen Definitionen.
f(x) ist also eine ganz normale rationale Funktion mit Nullstelle bei x=-1
für x=0 ist die Funktion nicht definiert.
Unstetigkeitsstelle bei x=0
Bei x=0: linker Grenzwert=-oo
rechter Grenzwert=+oo
Bei x=2 ist der Nenner=0 und der Zähler=0
wir ermitteln den Grenzwert lim(f(x)) für x->0 und erhalten den Wert -3/2.
x=2 ist keine Unstetigkeitsstelle.
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Nun berücksichtigen wir die zusätzliche Festsetzung:
f(x)=0 falls Nenner=0
also ist f(2)=0 und die Stelle x=2 ein Unstetigkeitsstelle.
und die Funktion ist nun für x=0 definiert.
f(-1) bleibt nach wie vor =0
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Die Unstetigkeit bei x=2 ist aber "hebbar" weil man durch Festsetzen eines Wertes für f(2) die Unstetigkeit beseitigen kann.
Falls wir festsetzen f(2)=-3/2 so hat unsere Funktion für x=2 keine Unstetigkeit mehr:
Für x=0 gelingt dies nicht. Wie immer man auch f(0) festsetzt, die Funktion ist in unmittelbarer Nachbarschaft verschieden: die Unstetigkeit ist "nicht hebbar".
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