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Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 11:52: | 
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y' = ( x + 3y + 2 )²
Bemerkung:
wie schon die erste Augabe, brauche ich diese auch für meine mündliche Prüfung in Mathe. Deshalb wenn es möglich ist, bitte ich Euch ausführlich und schnell zu antworten,
vielen dank,
Thomas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 15:37: |
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Hi Thomas,
Bei dieser DGl. hilft eine Substitution, nämlich:
x + 3y + 2 = u
wir leiten diese Gleichung nach x ab und erhalten:
1 + 3 y' = u ' , also u ' = 1 + 3 u ^ 2 nach der gegebenen DGl.
Die Variablen u und x lassen sich trennen, es kommt:
du / ( 1 + 3 u ^ 2 ) = dx ; beiderseitige Integration liefert:
1 / wurzel(3) * arc tan (u*wurzel(3)) = x +c
arc tan (u*wurzel(3) = wurzel(3)* x + C ( c , C sind Integrationskonstanten)
Somit : u = 1 / wurzel(3) * tan (wurzel(3)* x + C)
Macht man nun die Substitution rückgängig, so kommt:
x + 3y + 2 = ..
Also:
y = wurzel(3) /9 * tan (wurzel(3) * x + C) - 1/3*(x+2) als allgemeine Lösung
(I.v : Irrtum vorbehalten) |
Bryan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 12:59: |
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Hallo Leute !!!
Ich suche zu folgender DGl den Lösungsweg:
y'=cos(t)*tan(y) mit y(t)
Die Lösung soll sein y(t)=arcsin(c*e^sin(t))
Ein kleine Frage hätte ich noch, ist es richtig das x*x' integriert 1/2*x^2 ergibt ? Wenn ja, warum ?
Vielen Dank !!!
MFG |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 17:45: |
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Hi Bryan,
1.Aufgabe
TrennungderVariablen:
1 / tany * dy = cos t * dt
cos y / sin y * dy = cos t * dt
Integration
ln{ sin y ) = sin t + c
sin y = e ^ [ sin t + c ] = C * e ^ (sin t)
y = arc sin{ C * e ^ (sin t) }
c und C sind Integrationskonstanten
2.Aufgabe
x = x(t)
DGl. : z. B. x * x ' = 1
Trennung der Variablen
x * dx = dt
Integration (Kontrolle durch Ableiten ! )
1 / 2 * x ^ 2 = t + c
x = wurzel ( 2 t + C)
Gruss
H.R., megamath |
Bryan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 12:57: |
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Hallo H.R., megamath
Vielen Dank für deine schnelle Antwort !
Grüße !
Bryan |
Bryan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 14:43: |
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Hallo !!!
Ich habe mal wieder ein kleines Problem. Ich bereite mich gerade auf eine Mathe Klausur vor und finde den Lösungsweg zu folgender DGL nicht:
y'(t)=(t+y(t))^2
Lösung soll sein: y(t)=-t+tan(t+c)
Vielen Dank im voraus !
Grüße!
Bryan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 16:51: |
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Hi Bryan,
Besten Dank für Deine neueste DGL
Wir wollen versuchen, sie einigermassen souverän zu lösen !
Wir substituieren: t + y(t) = z(t)
Dann kommt durch Differentiation nach t:
1 + y' = z ' (t) (Letzeres ist dz / dt )
Einsetzen in Deine Dgl bringt: z ' - 1 = z ^2
Heureka: wir können die Variablen trennen:
dz / ( z ^ 2 + 1 ) = dt
Integration
arc tan z = t + c (Integrationskonstante c)
Auflösung nach z:
z = tan ( t + c)
Substitution rückgängig:
y = tan ( t + c ) - t
Fertig !
Gruss
H.R.Moser,megamath |
Bryan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 18:26: |
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Vielen Dank für die schnelle Lösung der DGL !
Macht weiter so !!!
Grüße !!
Bryan |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 16:50: |
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Hallo !
Ich habe ein Problem bei der Lösung der folgenden DGL !
Gegeben ist: y'*sin(2*t)=y*cos(2*t) mit y=y(t)
Die Lösung soll sein: y(t)=c*Wurzel(0.5*sin(t)*cos(t))
Ich komme auf die Lösung: y =sin(2t)+e^c
indem ich die gegebene DGL umstelle
y'/y=cos(2*t)/sin(2*t)
Beide Seiten integriert folgt:
ln(y)=ln(sin(2*t))+c
und nach y aufgelöst folgt:
y=sin(2*t)+e^c
Wo liegt der Fehler ?
Viele Grüße !!
Bryan |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 17:28: |
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Hallo Bryan,
y'sin(2t)=ycos(2t)
dy/y= cos(2t)/sin(2t)*dt
ò dy/y = ò cos(2t)/sin(2t)*dt
ln(y)=ò cos(2t)/sin(2t)*dt hier liegt dein Fehler.
wir setzen u=2t
du=2dt
das Integral wird also:
ò cos(u)/sin(u)*du/2= ½*ln(sin(u))=½*ln(sin(2t))
also:
ln(y)=ln(W[sin(2t)])+ln(C)
y=C*W(sin(2t))=C*W[2*sin(t)*cos(t)]
Den blauen Zweier kann man weglassen oder durch irgendeine andere Zahl ersetzen. (Es ändert sich dann C entsprechend). |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 20:45: |
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Hallo Fern !
Bis zu dem Integral ist mir das alles schon klar, aber wie kommt dann plötzlich eine Wurzel in den Ausdruck ln(y)=ln(W[sin(2t)])+ln(C) ?
Vielen Dank !
Bryan |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 21:17: |
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Hallo Bryan,
weil:
a*ln(u)=ln(ua)
also:
½*ln(sin(2t))=ln([sin(2t)]½)
====================== |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 22:45: |
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Hallo Fern !
Ja jetzt hat es klick bei mir gemacht, das ist natürlich klar !
Vielen Dank ! |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 18:15: |
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Hallo !
Ich habe mal wieder ein Problem bei Lösen der folgenden Aufgabe:
geg: y'=-t*e^(2*y+t^2) mit y=y(t)
ges: Lösung der DGL und AWP y(1)=-0.5 und man soll zeigen, dass die Lösung ein Polynom 2. Grades ist.
Die Lösung der homogenen DGL habe ich
y=-1/2*ln(t^2-2*c), aber wie geht es dann weiter ?
Viele Grüße !!!
Bryan |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 22:26: |
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Hallo Bryan,
Wie kommst du denn auf deine Lösung?
Ich glaube nicht, dass sie richtig ist! |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 23:01: |
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Hallo Fern !
Die homogene DGl lautet doch:
y'=-t*e^(2*y) umgestellt folgt y'*e^(-2*y)=-t
beide Seiten integriert: -1/2*e^(-2*y)=-1/2*t^2+c
und nach y umgestellt folgt:
y=-1/2*ln(t^2-2*c) oder ?
Ist in der homogenen Lösung schon ein Fehler ?
Wie geht es dann ?
Grüße !
Bryan |
H.-R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 07:56: |
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Hi Bryan,
Deine Diagnose war falsch; es handelt sich nicht um eine
lineare DGl.
Der richtige Lösungsweg verläuft so
Trennung der Variablen:
e ^ ( -2 * y ) * dy = - t * e ^ ( t ^ 2 ) * dt
Integration:
- 1 / 2 * e ^ ( - 2 * y ) = -1 / 2 * e ^ ( t ^ 2 ) + c
Auflösung nach y:
y = - 1 / 2 * ln [ e ^ ( t ^ 2 ) + c ]
Bestimmung der Integrationskonstanten aus der
Anfangsbedingung y ( 1 ) = - 0.5
- o.5 = - 0.5 * ln ( e + c ) daraus c = 0 ;
daraus erhalten wir die partikuläre Lösung:
y = - 1 / 2 * t ^ 2 , eine quadratische Funktion in t.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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