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Beitrag |
    
Vera Gmür (Vera567)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 13:50: | 
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Hi! Ich hab hier ne Vektorgeometrieaufgabe, die ich trotz bekannten Lösungen nicht versteh.. wer kann mir den Lösungsweg aufzeigen?
Danke! Vera
Die Gerade g durch die Punkte A(4/3/4) und B(5/4/4) und die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(-2/13/0) und dem Radius r=6 sind gegeben.
a) Welche Koordinaten besitzt der Punkt P auf der Geraden g, der den kleinsten Abstand von der Kugel K besitzt?
b) Wie lautet die Gleichung der kleinsten Kugel, welche die Gerade g und die Kugel K berührt?
c) Welche Gleichung hat die gemeinsame Tangetialebene der beiden Kugeln im Berührungspunkt?
Lösungen:
a)P(6/5/4)
b)Mk(4/7/3); rk=3
c)Berührungspunkt B(2/9/2); Tangentialebene T: 2x - 2y + z + 12 = 0 |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 09:43: |
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Hi Vera,
Richtungsvektor v = AB = {1;1;0},
daraus Parametergleichung der Verbindungsgeraden g = AB
mit t als Parameter:
x = 4 + t, y =3 + t , z = 4…………………………………………...(1)
Normalebene E zu g durch M
x + y = d
Da E durch M geht, gilt d = 11,also
E: x + y = 11……………………………………………………….(2)
Merke: die Koeffizienten von x, y ,z in der Gleichung von E
stimmen mit den Koordinaten (Komponenten ) des Vektors
v überein .
a) P als Durchstosspunkt (Schnittpunkt) von g mit E:
(1)in die Gleichung (2) einsetzen und nach t auflösen führt
auf t = 2 und mit (1) auf P(6/5/4).
b) w sei der Vektor M P (Verbindungsvektor der Punkte M und P)
wir erhalten: w = {8;-8;4} = 4* {2;-2;1}
Wir berechnen den Betrag b dieses Vektors und erhalten:
b = 4 * wurzel {2^2+(-2)^2+1^2} = 4*3 =12
Bedeutung: b = 12 ist der Abstand der Punkte M und P.
Der Durchmesser dk der gesuchten kleinsten Kugel ergibt sich
als Differenz
dk = b – r = 12 - 6 = 6; somit gilt für deren Radius rk :
rk = ½ *dk = 3.
Der Mittelpunkt Mk liegt auf der Geraden h = MP
im Abstand a1 = r + rk = 6 + 3 = 9 von M ,in Richtung MP
Der Berührungspunkt T der beiden Kugeln liegt ebenfalls
auf der Geraden h = MP im Abstand a2 = r = 6 von M ,
in Richtung MP
Anmerkung
Fehler in der Aufgabenstellung
Der gesuchte Berührungspunkt darf nicht mit B bezeichnet werden,
da diese Bezeichnung schon vergeben ist und zwar an den Punkt,
der zusammen mit A die Gerade g bestimmt.
In Anlehnung an das Wort Taktion (Berührung), wählen wir die
Bezeichnung „T“:
Da das Abtragen von Strecken mit vorgeschriebenen Längen etwas
heikel ist,zeige ich Dir diese Methode erst in einer Fortsetzung zu
dieser Arbeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 10:26: |
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Hi Vera,
Endspurt !
Der Verbindungsvektor w = MP = 4* {2;-2;1}hat,
wie wir wissen und nachrechnen können, den Betrag (Länge) b = 12.
Multiplizieren wir ihn mit dem Reziprokwert 1/ b = 1/12, so
erhalten wir einen Einheitsvektor e derselben Richtung
e = {2/3 ; –2/3 ; 1/3}
Bestätige: Der Betrag von e ist, wie es sich für einen Einheitsvektor gehört,
gleich eins.
Mit diesem Vektor als Richtungsvektor schreiben wir die Parametergleichung
der Geraden MP auf; sie lautet mit s als Parameter:
x = - 2 + 2/3 * s
y = 13 - 2/3 * s
z = 0 + 1/3 * s
Um den Punkt Mk zu erhalten, setze s = a1 = 9 , da MMk = 9 gilt
Resultat: Mk(4/7/3)
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Um den Punkt T zu erhalten, setze s = a2 = 6 , da MT = 6 gilt
Resultat: T(2/9/2)
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Die Gleichung der gemeinsamen Tangentialeben TAU erhalten wir sofort aus
der Tatsache, dass der Vektor e oder ein Vielfaches davon, etwa der Vektor
{2 ; - 2 ; 1 } ein Normalenvektor von TAU ist.
Da ausserdem TAU durch T geht, lautet die Gleichung der gesuchten
Tangentialebene:
2 x -2 y + z = - 12.
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MfG
H.R.Moser,megamath |
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