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Beitrag |
    
Hades
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 16:02: | 
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Hallo,
Ich habe keine Ahnung von diesen beiden Aufgaben hier.
Hier die Erste:
Es sei K das Schaubild von f:x -->0,5x(x^2 -9). Bestimmen Sie die Tangente an K einschließlich des Berührpunktes B(XB|YB), die durch den Punkt P(0|8) geht.
Abenteuerliche Formulierung, nicht?
Die Zweite Aufgabe sieht so aus:
Für welches t E(Element von)R berühren sich die Schaubilder von ft: x--> t(9-x^2) und g:x -->x+3?
Danke für eure Hilfe! |
K.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 11:14: |
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Hallo Hades
1) f(x)=0,5x*(x²-9)
=> f'(x)=1,5x²-4,5
Berührpunkt ist B(xb|yb) mit
yb=f(xb)=0,5(xb)³-4,5(xb)
Außerdem soll die Tangente durch P(0|8) gehen.
Mit der Zwei-Punkte-Form folgt dann für die Tangentengleichung:
y-8=(yb-8)(x-0)/(xb-0)=((yb-8)/xb)*x
=> m=(yb-8)/xb und mit yb=0,5(xb)³-4,5(xb)
m=(0,5(xb)³-4,5(xb)-8)/xb
da m gleich der 1. Ableitung im Berührpunkt B sein muss, folgt mit
f'(xb)=1,5(xb)²-4,5 durch gleichsetzen
1,5(xb)²-4,5=(0,5(xb)³-4,5(xb)-8)/xb |*xb
<=> 1,5(xb)³-4,5(xb)=0,5(xb)³-4,5(xb)-8 |+4,5(xb)
<=> 1,5(xb)³=0,5(xb)³-8 |-0,5(xb)³
<=> (xb)³=-8
<=> xb=-2
=> yb=f(-2)=0,5*(-2)((-2)²-9)=-1*(4-9)=5
Der Berührpunkt ist damit B(-2|5)
und die Tangentengleichung ist
y=3/2*x+8
2) Beiden Funktionen berühren sich, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben, in dem die Ableitungen gleich sind.
Schnittpunkt bestimmen durch Gleichsetzen:
ft(x)=g(x)
<=> t(9-x²)=x+3
=> x1=3-(1/t) und x2=-3
Mit ft'(x)=-2tx folgt
ft'(3-(1/t)=-6t+2 und ft'(-3)=6t
g hat überall die Steigung m=1
Für ft'(3-(1/t))=-6t+2=1 <=> -6t=-1 <=> t=1/6
und ft'(-3)=6t=1 <=> t=1/6 berühren sich ft und g.
Mfg K. |
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