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Beitrag |
    
Pascal Schmidt (Yourhero)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 22:17: | 
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Hallo zusammen!
Vor einiger Zeit haben wir Grenzwerte von Funktionen durchgenommen, sowohl x-->xo als auch gegen unendlich. Ich blicke bloß jetzt nicht mehr durch und würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand weiter helfen könnte.
Bsp.:
f(x)= (x²-4)/(x-2) ergibt nach Umformun x+2 für x ungleich 2
Wir haben dann folgende beide Schreibweisen gelernt:
wenn x-->2 dann f(x)-->2+2=4
lim x-->2 (x+2) = 2+2=4
Meine Frage: Eigentlich ist es ja genau diese Addition 2+2 die man aufgrund des Definitionsbereichs der Funktion nicht machen darf; hier an der Stelle macht man es dann doch. Ich blicke da nicht mehr durch und hoffe, dass mir jemand das erklären kann.
Grüße,
Julian |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 09:34: |
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Hallo Julian,
f(x) = (x^2-4)/(x-2)
kann man ja aufteilen in eine Zählerfunktion und eine Nennerfunktion.
Zählerfunktion ist (x^2-4) und Nennerfunktion ist (x-2).
Was nun das Grenzwertverhalten angeht:
An Stellen, wo die Nennerfunktion NULL wird, ist
f(x) natürlich nicht definiert. In dem Fall ist es nun x0=2
Aber der Sinn der Grenzwertberechung liegt ja eben darin, dass man herausfinden will, was genau mit der Funktion an der jener Stelle passiert.
Es gibt die Möglichkeit, dass hier eine Polstelle vorliegt oder aber eine Lücke.
Eine Polstelle liegt vor, wenn die Nennerfunktion NULL ist, die Zählerfunktion aber ungleich NULL.
Ergebnis ist dann, dass der Grenzwert gegen unendlich geht.
Der Graph verschwindet dann im unendlichen, bei x=2 liegt dann eine vertikale Asymptote vor, der sich der Graph nähert.
Eine Lücke liegt vor, wenn Zähler- und Nennerfunktion an der Stelle x0 gemeinsam eine Nullstelle haben.
Genau das ist bei f(x) der Fall und diese gemeinsame Nullstelle kürzt man raus.
Man erhält dann im Falle der von Dir angegebenen Funktion eine lineare Funktion, die dann fuer den Wert x=2 einen normalen Wert liefert.
Das heisst: f(x) hat an der Stelle x=2 eine Lücke, die aber behebbar ist. Denn es existiert ein Grenzwert, nämlich 4.
Und wenn Du Dir den Graphen der Funktion mal aufzeichnest und zwar im Intervall von 1,9 bis 2,1 und möglichst detailliert, dann wirst Du feststellen, dass die Funktion für x=2 gegen den Wert 4 geht.
Sinn der Sache ist, dass man solche Lücken durch einen Grenzwert "ausfüllen" kann und somit die Funktion stetig machen kann.
Das muss dann aber auch so aufgeführt werden.
Etwa so:
f(x) = (x^2-4)/(x-2) für R\(2)
f(2) = 4
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen :-)
Ciao
Justin |
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