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Beitrag |
    
anke
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 14:30: | 
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In unserem Buch steht folgender Text zum Grenzwert:
Ich verstehe die Definition, aber beim Beweis bleiben immer noch einige Fragen offen.
Vielleicht kann mir irgendwer bei den eingefügten Fragen helfen?
Vielen Dank schon mal!
I. Der Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen
Dabei hängt die Zahl N natürlich davon ab, welche Zahl für Epsilon gewählt wird; daher schreiben wir "N (Epsilon)". Wir definieren also:
D4.2 Eine Zahl g heißt "Grenzwert einer Zahlenfolge <an>" genau dann, wenn es zu jeder Zahl Epsilon Element R*+ eine Zahl N (Epsilon) Element N gibt, so daß gilt:
n>N(Epsilon) -> | g-an | <Epsilon
Man schreibt "lim an=g" und liest "limes" von an für n gegen unendlich ist
gleich g".
Man sagt: Die Folge <an> ist "konvergent", sie "konvergiert gegen die Zahl g".
Ist eine Folge nicht konvergent, so nennt man sie "divergent".
Bemerkung: Man kann die Grenzwertbedingung auch folgendermaßen schreiben:
n>N(Epsilon)==>| an-g |< Epsilon oder n> N(Epsilon)==>g – Epsilon <an < g+Epsilon (Aufgabe2a).
Beispiel 4
Zur Verdeutlichung, zeigen wir, daß die Zahlenfolge aus Beispiel 3 tatsächlich den Grenzwert 2 hat: lim (2 - (3/n))= 2.
Beweis: Wir haben zu zeigen, daß es zu jeder Zahl Element Element R*+ eine Zahl N (Element) Element N gibt, mit
n>N (Epsilon)=> | 2- (3/n) | <Epsilon
(Warum muss man dies zeigen? Worin liegt da der Sinn?)
Es gilt: |2-(2-(3/2))| = 3/n.
Zu bestimmten Epsilon-Werten können wir zugehörige Zahlen N (Epsilon) leicht bestimmen.
1) Für Epsilon = 0,1 kann man N (0,1) =30 wählen; denn für n > 30 gilt 3/n < 0,1;
2) für Epsilon= 0,001 kann man N(0,001)= 3000 wählen; denn für n> 3000 gilt 3/n < 0,00 1.
Um allgemein zu beweisen, daß die Zahl 2 Grenzwert der Folge <an> ist, gehen wir von der Ungleichung aus, deren Gültigkeit wir für fast alle n Element N nachzuweisen haben (Warum?), und formen sie in eine äquivalente Ungleichung um, die nach n aufgelöst ist. Wegen n > 0 und Epsilon > 0 gilt:
3/n <Epsilon umgeformt: n> 3/ Epsilon
Offensichtlich gibt es zu jeder Zahl Epsilon Element R*+ eine natürliche Zahl N(Epsilon) (Woher kommt diese Folgerung?) mit N(Epsilon) >= 3/ Epsilon
dann gilt nach obiger Rechnung für jede Zahl n Element N mit n> N (Eps), also auch für jede Zahl mit n> 3/Eps:
| 2-(2-(3/n))| = 3/n < Epsilon
Die Zahl 2 ist also tatsächlich der Grenzwert der Folge (2-3/n). |
anke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 14:01: |
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Bitte, ich bräuchte ganz dringend hilfe! |
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