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anke
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 16:24: | 
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Untersuche, ob die Folge (streng) monoton ist und beweise dein Ergebnis!
a) an= (1-n)/(n+1)
Mein Taschenrechner zeigt an, dass sie fallend ist, aber ich bekomme immer nur raus, dass sie steigend ist! Kann vielleicht jemand anders versuchen, die Aufgabe zu lösen?
Kann mir jemand erklären, wie man von
( (1-(n+1)²)/ (n+1) ) – ( (1-n²)/ n) ) auf das Ergebnis
- (n²+n+1) / (n*(n+1) ) kommt?
Danke schon mal! |
Lotte
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 18:27: |
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Hallo anke,
Diesmal hast Du aber eine schöne Überschrift gefunden!
Wie soll man denn daraus erkennen, um was es geht? |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 10:31: |
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Hallo Anke
eine Folge ist (streng) monoton fallend, wenn gilt:
an-an+1> oder = 0
an=(1-n)/(n+1)
=> an+1=(1-(n+1))/((n+1)+1)=n/(n+2)
damit folgt
an-an+1
=(1-n)/(n+1)-n/(n+2)
=[(1-n)(n+2)-n(n+1)}/[(n+1)(n+2)] also auf Hauptnenner gebracht
=[n-n²+2-2n-n²-n]/[(n+1)(n+2)]
=(-2n²-2n+2)/[(n+1)(n+2)]
=-2(n²+n-1)/[(n+1)(n+2)]
Da n eine natürliche Zahl ist, ist der Nenner stets größer als 0.
Der Ausdruck n²+n-1 ist ebenfalls stets größer als 0
Also gilt insgesamt
-2(n²+n-1)/[(n+1)(n+2)]>0
Damit ist die Folge streng monoton fallend.
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Wie kommt man von
((1-(n+1)²)/(n+1))–((1-n²)/n)) auf das Ergebnis
-(n²+n+1)/(n*(n+1))?
((1-(n+1)²)/(n+1))-((1-n²)/n) auf den Hauptnenner n(n+1) bringen
=[(1-(n+1)²)*n-(1-n²)(n+1)]/[n(n+1)] Klammern im Zähler nach und nach auflösen
=[n-n(n+1)²-(n-n³+1-n²)]/[n(n+1)]
=[n-n(n²+2n+1)-n+n³-1+n²]/[n(n+1)]
=[n-n³-2n²-n-n+n³-1+n²]/[n(n+1)]
=[-n²-n-1]/[n(n+1)] nun im Zähler (-1) ausklammern
=(-1)(n²+n+1)/(n(n+1))
=-(n²+n+1)/(n(n+1))
Mfg K. |
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