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Julia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 12:08: | 
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Könntet ihr mir erkären,warum eine Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt hat und warum dieser Wendepunkt auch Symetriezentrum des Graphen ist?
Danke schon mal im Voraus. |
Armin Heise
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 12:20: |
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Hallo Julia,
eine Funktion hat für die x einen Wendepunkt, für die x für die die zweite Ableitung = 0 und die 3. Ableitung ungleich 0 ist.
Die 2. Ableitung einer Funktion 3. Grades ist eine Gerade und die 3. Ableitung eine Konstante ungleich 0.
Jede Gerade die nicht parallel zur x - Achse istt hat eine Nullstelle und der entsprechende x - Wert gehört zu einem möglichen Wendepunkt.
Setzt man den x - Wert, für den f'' = 0 ist in die 3. Ableitung ein, so ist das Resultat ungleich 0, also liegt wirklich ein Wendepunkt vor. |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 00:14: |
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Der Wendepunkt von f(x)=ax^3+bx^2+cx+d existiert
im Normalfall a ungleich 0. Mit der Untersuchung
des Graphen im Koordinatensystem, was den Wende-
punkt als Ursprung hat, bin ich leider noch nicht
fertig. |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 00:15: |
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Der Wendepunkt von f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ist
xw=-b/3a (existiert also im Normalfall a0).
Die Untersuchung der Punktsymmetrie des
Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem
mit dem Ursprung (xw, yw) habe ich noch nicht
fertig. |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 00:19: |
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f(x)=ax^3+bx^2+cx+d hat für a ungleich 0 natür-
lich einen Wendepunkt. Die vermutete Punktsymme-
trie im dem Koordinatensystem, was den Wendepunkt
als Ursprung hat, habe ich noch nicht beweisen
können. |
Oliver
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 16:05: |
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Hallo Franz,
den Beweis, das die Funktion f(x)=ax3+bx2+cx+d
punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum xw|yw ist, führt man ganz einfach:
Es sei xw der Wendepunkt. yw die Abzisse. Wie du weißt greift die Bedingung für Punktsymmetrie f(x)=-f(-x) nur dann, wenn f(x) auch durch den Ursprung verläuft. Also verschiebt man den Graph f(x)=ax3+bx2+cx+d wieder so, das er durch den Nullpunkt geht. Am charakterischtischen Verlauf ändert sich ja dadurch nichts. Will heißen: Ist der Graph symmetrisch, dann ändert die Achsentransformation nichts daran.
Gesagt, getan:
Liegt xw links von 0, dann subtrahieren wir xw von f(x). Entsprechend verfahren wir, wenn xw rechts von 0 liegt, allerdings addieren wir dann.
Für yw ist das unbedeutend. Ist es über der Null, wird es abgezogen, unter der Null....was wohl?
Konkret:
f|(x)=a(x+xw)3+b(x+xw)2+c(x+xw)+d+yw
Beachte die Vorzeichen von xw und yw. f|(x) heißt "verschoben".
Der nun vorliegende Graph ist, einfach zu ersehen, punktsymmetrisch. Willst du noch die Symmetrie im ursprünglichen Symmetriezentrum xw|yw nachweisen, gilt:
x = u + p
y = v + q
Dies führt jeden Punkt (x|y) im xy-Koordinatensystem in den Punkt (u|v) im uv-Koordinatensystem über. Punkt (P|q) wird dann das neue Symmetriezentrum. Hier: xw|yw(Koordinatentransformation)
Hinweis: Du mußt natürlich nicht die Funktion zuerst in den Nullpunkt zurückverschieben. Wenn Du die Symmetrie im xwyw-System beweisen willst, führe nur die Koordinatentransformation durch!
Viele Grüße! |
Franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2000 - 08:53: |
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Grüß Gott, Oliver!
> f|(x)=a(x+xw)3+b(x+xw)2+c(x+xw)+d+yw
y=y|+yw führt zu f|(x)=f|(x)-yw
> Symmetrie im xwyw-System beweisen willst, führe nur
> die Koordinatentransformation durch!
Ich werde mich hüten: wegen der Rechnerei und zweitens, weil m.W. solche Transformationen nicht Schulstoff sind.
Weil die Symmetrieeigenschaften geometrischer Fi-
guren beziehungsweise Funktionsgraphen verschie-
bungsunabhängig sind, genügt es, diejenigen Poly-
nome dritten Grades zu untersuchen, welche ihren
Wendepunkt im Ursprung haben. Damit (y=ax3+cx)
ist die Punktsymmetrie offenkundig.
Tschüß |
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