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TMC
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 13:21: | 
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Hallo Ihr lieben Leut. Dies Halbjahr ist besonders gut für mich gelaufen-(Zeugniss Mathe Note 5. Das muss sich ändern hab ich mir gedacht, und da mein Mathe-Lehrer nicht das erklärt, was er so an der Tafel macht, dachte ich mir ich wende mich an Euch. Ich hätte hier eine Aufgabe:
f (x)=x²-6x+8
Für diese Aufgabe soll ich die Nullstellen, Polynomform, Scheitelpunktkoordinaten, Scheitelform heraus bekommen. Dann kommt noch die Linearfaktor-Darstellung hinzu- was ist das???
Wäre echt nett, lieb, fantastisch, cool, Mega cool, und vor allem hilfreich, wenn jemand mir diese ganzen punkte mit rechenweg, und Erklärung vorrechnen würde. Ich bedanke mich im vorraus
TMC |
MDorff
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 17:26: |
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Hallo, TMC
ich versuch dir mal zu helfen:
a)Nullstellen: (y=0 setzen)
x2-6x+8=0
x1/2=-p/2 +-Wurzel aus(p4/4-q)
x1/2=3+-1
x1=4 und x2=2
b)Scheitelpunktkoordinaten:
S(-p/2;-p2/4+q)
xS=-p/2=3
yS=-p2/4+q=-1
S(3;-1)
c)Polynomform:
f(x)=1x2-6x1-8*x0
(was anderes fällt mir hierzu nicht ein)
d)Zerlegung in Linearfaktoren:
Dabei wird x2+px+q in (x-x1)(x-x2)
umgewandelt:
Erst Gleichung wie unter a) lösen
f(x)=x2-6x+8
x1=4
x2=2
--->f(x)=(x-4)(x-2)
Aus der Form ist das Ablesen der Nullstellen (oder Lösung der entsprechenden Gleichung) sofort möglich:(jeweils Entgegengesezte von
x1 und x2.
Das wär's eigentlich, TMC.
Wünsche dir bei deiner Zensurenverbesserung viel Glück ! |
MDorff
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 17:32: |
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TMC, ich habe noch etwas vergessen:
Nicht Scheitelform, sondern Scheitelpunktform:
Dabei wird die Gleichung mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt:
f(x)=x2-6x+8
f(x)=x2-6x+9-9+8
f(x)=(x-3)2-1
S(-d;e)-->S(3;-1) |
Reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 17:36: |
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Hallo TMC
Fangen wir mit den Nullstellen an: Die Lösung einer Quadratischen Gleichung x² + p*x + q = 0 können mit der Formel x1 = - (p/2) + wurzel[ (p/2)² - q] und x2 = - (p/2) - wurzel [ (p/2)² - q]
In deinem Fall willst du wissen: x²-6x+8=0
eine art, sich die Formel zu merken: nimm die negative Hälfte von dem, was beim x steht dann mach ein +- und eine Wurzel, in die Wurzel schreibst das Quadrat von der Zahl vor dem +- und ziehst dann noch die alleine Zahl aus der Funktion ab. In deinem Fall: die negative Hälfte von -6 ist 3. Und 3 quadrat ist 9 und die alleinige Zahl ist 8. also 3 +- wurzel( 9-8) =
=3 +- wurzel (1) = 3+-1; x1=4; x2=2; Das sind deine Nullstellen.
Die Polynomform, die du hausbekommen sollst, ist eigentlich schon gegeben. Ein Polynom ist definiert als Summe( an * x^n). Also ist die Polynomform deiner Funktion genau x² - 6*x + 8
Jetzt die Scheitelpunkte: Wenn du einen Exremwert einer Funktion braucht, dann mußt du die Funktion differenzieren und 0 setzen. Ich hoffe, dir ist klar warum. Ein Scheitelpunkt ist jener Punkt, wo die Steigung am größten (oder am kleinsten) ist. Also mußt die die Funktion differenzieren, um eine Formel für die Steigung zu bekommen, und von dieser Formel brauchst du den Extremwert, also nocheinmal differenzieren und Nullsetzen.
f(x)= x² - 6 x + 8
einmal differenziert:
f ' (x) = 2x - 6
nocheinmal differenziert:
f '' (x) = 2
Frage: für welches x ist die konstante Funktion f''(x)=2 gleich 0? für garkein x, weil die funktion immer = 2 bleibt, also hat f(x) keinen Scheitelpunkt. Ich nehme aber fast an, daß du dich verschrieben hast, und du den Exrempunkt sucht: f haben wir ja schon einmal abgeleitet:
f'(x) = 2x - 6. Und das soll = 0 sein
2x-6=0 => x=3 ist die Extremstelle.
Der Extrempunkt ist P = (3 / f(3) ) = (3/-1)
Und nun zur Linearfaktor Darstellung: Es gibt einen Satz (weiß nicht mehr von wem, müßte erst nachschlagen), der behauptet: wenn man vom einem Polynom alle Nullstellen a1, a2, a3 .. hat, und man schreibt dann die Formel (x-a1)*(x-a2)*(x-a3).., dann ist diese Formel genau das selbe wie der Polynom.
In deinem Fall von f(x)=x²-6x+8 waren die Nullstellen x1=2 und x2=4.
Nun kannst du also genauso schreiben f(x)=(x-2)*(x-4). und genau das ist die Linearfaktor-Darstellung. Mach mal die Probe und multiplizier das ganze aus! Wirst sehen daß dann wieder geanu x²-6x+8 rauskommt.
Hoffe, dir geholfen zu haben,
Reinhard |
TMC
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 20:18: |
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Hallo Reinhard,
ich danke Dir für Deine Hilfe, aber ich vergaß zu erwähnen, dass ich in der Klasse 11 bin. Mit differenzieren, und Extrempunkten kann ich leider nichts anfangen. Aber geholfen hast du mir trotzdem.
Hier mit danke ich auch Mdorff für seine so schnelle Antwort.
Ich werde mich auch demnächst an Euch wenden,
bis dann
TMC |
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