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nelle (Nelle18)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 09:53: | 
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Ich habe gegeben:
In einem Quadrat ist ein Kreis, in diesen ist wieder ein Quadrat in diesen wieder ein Kreis usw. (Quadrat,Kreis).
a ) Summe aller Kreisflächen berechnen.
b ) Beziehung zwischen Gesamtfläche aller Kreise zum Flächeninhalt des Umkreises ,um das erste Quadrat angeben. Beziehung zwischen dem Gesamtflächen aller Kreis und dem Flächeninhalt des ersten Innenkreises herstellen.
Danke für die Hilfe!!
MfG nelle |
Sascha101 (Sascha101)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 10:36: |
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Hallo Nelle!
Du solltest dir mal überlegen, wie man die Gestzmäßigkeiten für die Kreisfläche herausfindet! Kleiner Tip:
Der Radius des ersten Kreises ist gleich die Hälfte der Grundseite des Quadrates!
Somit ist a1= (a/2)^2*pi
Als nächtes benötigst du die Grundseite des Quadrates, das diesem Kreis einbeschrieben ist.
Wenn du dir das mal groß genug aufzeichnest (skizzen können oft hilfreich sein!) wirst du feststellen, daß der Radius des kreises zugleich die Hypotenuse eines Dreiecks ist, wenn du den radius als diagonale des Quadrates einzeichnest.
Mit diesem Ansatz lasse ich dich jetzt zunächst mal alleine.... wenns dennoch nicht klappt, melde dich nochmal! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 10:54: |
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Hi nelle, ich versuchs mal.
Für den ersten Kreis im Quadrat, dessen Seitenlänge nenne ich a, gilt:
r1=a/2 => A1=pi*(a/2)²=pi*a²/4
Die Diagonale des nun einbeschriebenen Quadrats ist 2*r1=a. Dann folgt mit Pythagoras für die Seitenlänge des Quadrates (nenne ich x)
a²=x²+x² => a²=2x² => x=a/2*Wurzel(2)
Der nun einbeschriebene Kreis hat somit den Radius r2=1/2*a/2*Wurzel(2)
=> r2=a/4*Wurzel(2)
=> A2=pi*[a/4*Wurzel(2)]²=pi*a²/8
Wenn du nun entsprechend weiter rechnest erhälst du
A3=pi*a²/16; A4=pi*a²/32 ....
Die Summe aller Flächeninhalte ist dann
S=A1+A2+A3+A4+...
=(pi*a²/4)+(pi*a²/8)+(pi*a²/16)+(pi*a²/32)+...
=pi*a²*[1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +...]
pi*a²*[(1/2)²+(1/2)³+(1/2)4+(1/2)5+...]
Wenn du dir den Ausdruck in den eckigen Klammern genauer anschaust, erkennst du darin die geometrische Reihe ab dem 3. Glied. Die geometrische Reihe konvergiert für q=1/2 gegen den Wert 2. Da bei dieser Reihe aber (1/2){0} und (1/2)1 fehlen, müssen deren Werte vom Summenwert subtrahiert werden; 2-1-1/2=1/2
Insgesamt folgt damit
S=pi*a²*1/2
Hoffe, dass alle meine Schussfolgerungen so erlaubt und richtig ausgeführt sind.
b) müsstest du nun eigentlich schaffen. Wenn nicht, melde dich wieder.
mfg Lerny |
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