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Beitrag |
    
Lia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 14:16: | 
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Wenn man den Term (3n+1/n+3) mit Differenzbildung auf Monotonie untesuchen mwill, wie geht dann der Rechenweg???
Ich komme irgendwie nicht auf das vorgegebene Ergebnis!! (monoton steigend) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 455
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 17:13: |
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OH, BITTE, RICHTIG KLAMMERN SETZEN
gemeint ist wohl
an=(3n+1)/(n+3) = 3 - 8/(n+3)
da sieht man dann auch ohne viel Rechnen daß der Grenzwert (für n -> unendlich) 3 ist und
die Differenz zu 3 immer kleiner wird.
an+1-an = -8/(n+4) - [-8/(n+3)] = 8[1/(n+3)-1/(n+4)] = 8*[]
ohne weiterzurechnen sieht man daß [] >= 0 gilt, die Folge also monoton steigend ist |
mythos2002 (mythos2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 21:52: |
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Hi,
folgende Methode ist m. E. vorzuziehen:
Erst mal die ersten Glieder der Folge a_n = (3n + 1)/(n + 3)] bestimmen (für n = 1, 2, 3... nacheinander einsetzen):
a1 = 1, a2 = 7/5, a3 = 5/3, ... daraus kann man bereits vermuten, daß die Folge streng monoton steigend ist.
Nun beweisen wir dies, in dem die Bedingung
a_n < a_(n+1)
für die (streng steigende) Monotonie auf den Index n der Elemente a_n, a_(n+1) hin überprüft wird, also ob die Ungleichung
[(3n + 1)/(n + 3)] < {[3*(n+1) + 1]/[(n+1) + 3]}
für ALLE n € N wahr ist, die Lösungsmenge somit N ist.
Das Auflösen der Ungleichung liefert:
[(3n + 1)/(n + 3)] < [(3n + 4)/(n + 4]] | * (n+3)(n+4) > 0
3n² + 13n + 4 < 3n² + 13n + 12 | -3n² - 12n - 4
[das n darf NIE ganz aus der Ungleichung fallen!]
n < n + 8 -> die ist für alle n € N eine wahre Aussage, daher ist die Lösungsmenge
L = N, was zu zeigen war!
Gr
mYthos
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