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Torsten
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 19:53: | 
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Ich habe immer Probleme mit dem Aufstellen von Funktionsgleichungen bei textaufgaben, wie zum Beispiel bei folgender:
Eine Parabel 4.Ordnung in O(0;0)eine waagerechte Tangente und in P(-2;2)einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Was sind nun die Bedingungen und wie stell ich die Gleichung auf??
Vielen Dank im voraus
Torsten |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 20:48: |
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Es ist von einer Parabel 4. Ordnung die Rede. Also wissen wir schon, dass 4 die höchste Potenz von x ist. Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet:
f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Wir wissen, das der Punkt O(0;0) auf der Parabel liegt, also muss gelten:
I: f(0) = 0
und wir wissen auch, dass die Steigung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt gleich 0 ist (weil waagerecht), also gilt:
II: f'(0) = 0.
Wir haben noch den zweiten Punkt P(-2;2). Also gilt zuerst einmal:
III: f(-2) = 2.
Dann wissen wir, dass das ein Wendepunkt ist. Es muss also auch gelten:
IV: f''(-2) = 0.
Und zuletzt hast die Tangente auch hier die Steigung 0, also gilt zusätzlich:
V: f'(-2) = 1.
Tragen wir nun alle 5 Bedingungen zusammen und schreiben die Funktionsgleichungen alle aus:
I: f(0) = 0
II: f'(0) = 0
III: f(-2) = 2
IV: f''(-2) = 0
V: f'(-2) = 0
Um die Funktion und deren Ableitungen gleich ausschreiben zu können, wollen wir sie erst einmal bilden:
f'(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d
f''(x) = 12ax2 + 6bx + 2c
Ausgeschrieben ergeben die Bedingungen:
I:
a*04 + b*03 + c*02 + d*0 + e = 0
<=> e = 0
II:
4a*03 + 3b*02 + 2c*0 + d = 0
<=> d = 0
III:
a*(-2)4 + b*(-2)3 + c*(-2)2 + d*(-2) + e = 2
<=> 16a - 8b + 4c - 2d + e = 2
<=> 16a - 8b + 4c - 2 + 0 = 2
<=> 16a - 8b + 4c = 4
<=> 4a - 2b + c = 1
IV:
12a*(-2)2 + 6b*(-2) + 2c = 0
<=> 48a - 12b + 2c = 0
<=> 24a - 6b + c = 0
V:
4a*(-2)3 + 3b*(-2)2 + 2c*(-2) + d = 0
<=> -32a + 12b - 4c + d = 0
<=> -32a + 12b - 4c + 1 = 0
<=> -32a + 12b - 4c = -1
<=> 8a - 3b + c = -1/4
Da d=1 und e=0 mittlerweile bekannt sind, brauchen wir nur noch die Gleíchungen die unter III, IV und V stehen und bilden daraus ein kleines lineares Gleichungssystem:
<=> 4a - 2b + c = 1
<=> 24a - 6b + c = 0
<=> 8a - 3b + c = 0
Das löst man im Nu und erhält:
a = 3/8
b = 2
c = 3
d = 0
e = 0
Dies ergibt folgende Funktionsgleichung:
f(x) = 3/8*x4 + 2x3 + 3x2 |
anna konda
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 20:52: |
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die gl. mit den unbekannten koeffizienten lautet:
a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0.
wenn f(0)=0 ist folgt a0=0
waagerechte tang. bedeutet f'=0:
4*a4*x^3+3*a3*x^2+2*a2*x+a1=0 für x=0
also a1=0
wendepunkt: f''=0
hier setzt du dann ein x=-2 so daß zunächst f(-2)=2 ist, der rest wie gehabt. |
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