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Beitrag |
    
Enrico
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Oktober, 1999 - 18:27: | 
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In einem würfelförmigen Karton der Kantenlänge 3d sind 27 Kugeln gleicher Größe mit dem Durchmesser d untergebracht. Gibt es ein Polygon, welches, ausgehend von der innersten Kugel, derart durch alle Kugeln führt, daß jede Kugel genau einmal durchlaufen wird und der Übergang von einer Kugel zur nächsten nur an den Berührungspunkten erfolgt! (Man kann daher nicht diagonal gehen!!!) Die Antwort ist zu beweisen! |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 1999 - 15:17: |
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Hallo Enrico,
das ist eine schöne Aufgabe. Die Antwort lautet nein, es gibt keinen derartigen Polygonzug. Der Beweis ist recht einfach, erstmal geben wir jeder Kugel eine Nummer, und zwar:
Erste Ebene (unten):
17 18 19
14 15 16
11 12 13
Zweite Ebene (Mitte):
27 28 29
24 25 26
21 22 23
Dritte Ebene (oben):
37 38 39
34 35 36
31 32 33
Jetzt haben 14 dieser Kugel-Nummern eine gerade Quersumme und 13 haben eine ungerade Quersumme.
Die Besonderheit an dem "Zugverfahren" ist, daß (weil ja Diagonalen verboten sind) man von einer "geraden" Quersumme immer zu einer "ungeraden" rücken muß und auch umgekehrt.
Bei 26 Zügen und Start mit einer ungeraden (nämlich der Kugel mit Nummer 25), muß man auch wieder bei einer ungeraden herauskommen, dann waren wir aber auf 14 ungeraden Kugeln und auf 13 geraden, was nach obiger Ausgangszählung aber unmöglich ist. Also gibt es keinen geforderten Polygonzug!
Wenn es einen gibt, dann muß man mit einer geraden Kugel anfangen!
Hast Du es verstanden?
Adam |
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