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Patrick E.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Dezember, 1998 - 15:44: | 
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Ich bräuchte hier mal 'ne Idee:
Sei f(x) = -½x3 -½
mit x aus [-1,0].
Man beweise, daß f einen Fixpunkt enthält.
Danke, Patrick |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Dezember, 1998 - 22:08: |
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Moin moin,
ein Fixpunt heißt ja, daß f(x) = x für ein x erfüllt ist. Setzt man das ein, bekommt man eine Gleichung 3. Grades, die wir nicht ohne weiteres lösen können.
Aber, da der Fixpunkt ja gar nicht angegeben werden muß, sondern nur die Existenz nachzuweisen ist, kann man hier den "Allgemeinen Fixpunktsatz" anwenden, der da lautet:
"Jede stetige Selbstabbildung des Intervalls [a,b] besitzt mindestens einen Fixpunkt."
(Graphisch sieht man das, Du kannst ja mal versuchen eine solche Funktion zu malen ohne Fixpunkt, was nichts anderes heißt, daß diese Funktion die Gerade g(x) = x nicht schneidet).
Also haben wir nur noch die beiden Voraussetzungen "stetig" und "Selbstabbildung" zu prüfen, dann sind wir fertig:
1) Stetigkeit: ganzrationale Polynomfunktionen sind stetig.
2) Selbstabbildung: f(-1) = 0, f(0) = -½.
Weiterhin ist klar, daß f(x) streng monoton ist, womit alles klar wäre.
Einverstanden?
Adam |
Adam
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Dezember, 1998 - 13:42: |
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Patrick, hier kannst Du es Dir nochmal graphisch die Existenz des Fixpunktes veranschaulichen:
Die grüne Gerade ist g(x)=x, die rote Kurve unser Polynom dritten Grades. |
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