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Anna (tieny)
Neues Mitglied
Benutzername: tieny
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 19:12: | 
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Hi! Ich habe hier 2 Aufgaben mit denen ich nicht klar komme:
1.
Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist um 55 größer als ihre Summe.
Wie heißen die Zahlen?
2.
Die Summe der Quadrate vier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist 446.
Wie heißen diese vier Zahlen?
Ich hoffe, dass sich jemand damit auskennt und mir
schnell helfen kann.
Ciao
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Evi (eviii)
Neues Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 19:34: |
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Hallo Anna!
Hier erstmal die Lösung zu Aufgabe 1:
Du weißt:
I) a * b = 55 + a + b
a und b sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Daraus folgt:
II) a = b + 1
Gleichung II) in I) eingesetzt ergibt folgende Gleichung:
(b + 1) * b = 55 + b + 1 + b;
b(hoch)2 - b - 56 = 0
Jetzt wende die Lösungsformel für quadratische Gleichungen an:
b1 = (1 + Wurzel(1 - 4 * (-56))/2 = (1+15)/2 = 8
b2 = (1 - Wurzel(1 - 4 * (-56))/2 = (1-15)/2 = -7
Also:
b1 = 8
b2 = -7
Setze die Lösungen in die Gleichung II) ein und du erhälts:
a1 = 1 + 8 = 9
a2 = 1 + (-7) = 6
Da die Zahlen ja ganze Zahlen sind, sind auch a2 und b2 Lösungen.
Überprüfen kannst du das ja selbst!
Gruß Evi
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Evi (eviii)
Neues Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 20:03: |
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Hallo Anna!
Hier nun die Lösung zu Aufgabe 2:
Der Ansatz ist der selbe:
^ das Zeichen heißt hoch!
I) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 446
a,b,c,d sind auf einander folgende Zahlen. Es ergeben sich die nächsten drei Gleichungen:
II) a = b + 1
III) b = c + 1
IV) c = d + 1
IV in III -> III') b = d + 2
III') in II -> II')a = d + 3
Setzte Gleichung IV), III'), II') in Gleichung I ein:
I') (d+3)^2 + (d+2)^2 + (d+1)^2 + d^2 = 446;
Durch ausmultiplizieren und zusammenfassen erhälst du folgende Gleichung:
I'') 4*d^2 + 12*d + 14 = 446
4*d^2 + 12*d - 432 = 0
Dividiere die Gleichung durch 4:
d^2 + 3*d - 108 = 0
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhälst du folgende Werte für d:
d1 = ( (-3) + Wurzel(9 - 4*(-108)) )/2 =
( (-3) + Wurzel(441) )/2 = ( (-3)+ 21 )/2 = 9
d2= ( (-3) - Wurzel(9 - 4*(-108)) )/2 =
( (-3) - Wurzel(441) )/2 = ( (-3)- 21 )/2 = - 12
d2 Kannst du vergessen, da -12 keine natürliche Zahl ist.
Weiter mit d = 9:
a = d + 3 = 9 + 3 = 12
b = d + 2 = 9 + 2 = 11
c = d + 1 = 9 + 1 = 10
d = d = 9
Probe:
12^2 + 11^2 + 10^2 + 9^2 = 144 + 121 + 100 + 81
= 446
Die Zahlen heißen 9, 10 , 11, 12.
Gruß Evi
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Anna (tieny)
Neues Mitglied
Benutzername: tieny
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Mai, 2003 - 21:16: |
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Hallo Evi!
Vielen, vielen dank für deine schnelle Antwort
und den genauen Lösungsweg.
Tschau, Anna! |
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