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franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 12:12: | 
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entdeckt seinen Herrn am anderen Ufer eines Flusses, springt genau gegenüber ins Wasser und schwimmt immer genau in Richtung auf Herrchen, obwohl ihn die Strömung abtreibt. Der Fluß habe überall die gleiche Geschwindigkeit. Wo landet der Hund, wie lange braucht er, welche Kurve beschreibt er? F. |
Zorro
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 10:05: |
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also Franz, ich denke der Hund landet bei exakt vor seinem Herrchen, und ist eine gerade Strecke geschwommen.
Allerdings gilt es zu beachten, das der Richtungsvektor seines Schwimmvortriebs nicht parallel zu der Strecke verläuft, die er zurücklegt. Der Hund liegt also "quer" im Wasser, um die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers zu kompensieren.
... jetzt wundere ich mich aber doch, daß Du als Physik-Spezialist, diese Frage im Matheforum stellst, und nicht bei physik4u.de ;-)
Gruß, Zorro |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 14:48: |
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Hallo Zorro, es freut mich, daß Du "angebissen" hast. Diese (erste) Hundeaufgabe stammt aus einem 2,5 kg -Buch und hat dort drei Sterne als Schwierigkeitsgrad ... Das ist einer der Gründe, sie an dieser Stelle zu offerieren. Spezielle physikalische Kenntnise sind unnötig.
Schon die Möglichkeit v(Wasser) > v(Hund) deutet wohl an, daß die Sache nicht ganz trivial ist. Hilfreich sind möglicherweise Polarkoordinaten. F. |
Henrik (Yleph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 10:31: |
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Wunderschönen guten Tag,
war das 2,5 kg Buch vielleicht der Gerthsen??(dort würde dann auch die Lösung stehen)
egal ich hab ihn grad nicht zur Hand und versuche die Lösung mal zu skizzieren:
der Hund schwimmt anfangs senkrecht zur Stömung auf sein Herrchen zu. wird aber durch diese abgetrieben und muß daher seine Richtung anpassen, so daß er weiter auf sein Herrchen zuschwimmt.
wenn wir annehmen, daß der Hund sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag (v) gegenüber dem Wasser fortbewegt und die Strömungsgeschwindigkeit vs = konst ist kommen wir mit obiger Überlegung zu
( (1,0) Fließrichtung des Wassers, (0,0) anfängliche Position des Hundes, (0,1) Position des Herrchens)
X'(t) = (((0,1)-X(t))/sqrt(((0,1)-X(t))^2))*v - (1,0)*vs
diese Differentialgleichung sehe ich mich gerade außer stande zu lösen (aber das ist als leichte Übung sicherlich zu hause zu erledigen ;-)
PS.: man könnte auch noch ein Gefälle der Fließgeschwindigkeit im Abstand vom Ufer berücksichtigen ( vs(x) = c *(x-1)*x ) |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 21:15: |
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Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 21:30: |
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Sei vW die Geschwindigkeit des Wassers. (Vektoren fett, ihre Beträge normal)
Der Vektor der Geschwindigkeit des Hundes zeigt immer auf denselben Punkt (lege Herrchen in Ursprung r=0), deshalb Polarkoordinaten mit vH = vH*(-er)=-vHer, mit |vH|=vH=Eigengeschwindigkeit des Hundes.
Die Wassergeschwindigkeit hat Richtung ex, vW=vWex mit |vW|=vW
Der Gesamtgeschwindigkeitsvektor des Hundes ergibt sich zunächst nach (s. Abb. 1)
vH = -vHer + vW, vW=ex, übertrage ex in Polarkoordinaten: ex=ercosf - efsinf (entnehme aus Abb. 2)
=> vH = -vHer + vWercosf - vWefsinf
und nach Komponenten er und ef sortiert:
vH = (vWcosf - vH)er - vW sinfef
gesucht ist eine Gleichung für die Kurve, die der Hund beschreibt:
Ansatz r(f)=r(f)er, wobei r=|r(f)|=momentaner Abstand Hund-Herrchen.
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**Allgemeine Rechnung zu Polarkoordinaten:
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**r'(t)=(dr/dt)er + r der/dt (*)
**
**dr/dt = r'(t),
**der/dt = d(cosfex+sinfey)/dt=-sinfexf'(t) + cosfeyf'(t)
**Es galt (vgl. Abb2) ef=cosfey-sinfex, damit folgt
**der/dt =f'(t)ef
**
**in (*) eingesetzt ergibt sich
**
**=> r'(t)=r'(t)er+rf'(t)ef
**
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Mit Gleichsetzen vH=r'(t) ergibt sich durch Koeffizientenvergleich der Vektoren er und ef:
vWcosf-vH=r'(t)
-vWsinf=rf'(t) => f'(t)=-(vW/r)sinf
werden diese beiden Ausdrücke in
r'(t)=dr/dt=(dr/df)(df/dt)=(dr/df)f'(t) eingesetzt, ergibt sich
vWcosf-vH=(dr/df)*(-(vW/r)sinf)
Trennung der Variablen durch Multiplikation mit (df/(vWsinf))
(mit vW deshalb, weil später vorteilhafter bei Aufhebung des ln)
(cosf/sinf)df - (vH/vW) df/(sinf) = -dr/r
Integration ergibt:
ln|sinf| - (vH/vW) ln|tan(f/2)| = - ln|r| + c
r(f)=c*{[tan(f/2)]^(vH/vW)}/sinf
An der Absprungstelle des Hundes ist f = 90°.
Dort gilt r(90°)=c*{[tan(45°)]^(vH/vW)}/sin90° = c
c kann als die Breite des Flusses gedeutet werden.
Setze c=1.
Der Verlauf der Bahn von (0,1) nach (0,0) hängt vom Verhältnis der Geschwindigkeiten von Hund vH und Wasser vW ab.
Angenommen, vH=vW, wird r(f)=[tan(f/2)]/sinf
und mit tan(f/2)=(sinf)/(1+cosf) wird dies zu
r(f)=1/(1+cosf) => r+rcosf=1 => r = 1 - rcosf
mit r²=x²+y² und x=rcosf wird daraus
x²+y²=(1-x)² => x²+y²=1-2x+x² => y² = 1-2x => y=Ö(1-2x) |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 21:32: |
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franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 22:57: |
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Und weiter? |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 23:36: |
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Tut mir leid, weiter weiß ich nicht, mein Gerthsen ist gerade mal 1,5 kg schwer und hat demnach keine Lösungen drinstehen ;-)
Wie ich die Schwimmzeit errechnen soll, weiß ich (noch?) nicht. Um das Problem generell in den Griff zu bekommen, müsste man erst recherchieren, wie schnell Hunde schwimmen und wie langsam Flüsse fließen können.
Irgendwie habe ich aber im Gefühl, dass der Hund wohl nie genau beim Herrchen ankommen kann. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 12:25: |
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Der richtige GERTHSEN beginnt mit phi(0) = 0, was die Rechnung etwas vereinfacht und endet mit den Fallunterscheidungen v kleiner, gleich und größer w; Kurve kann man als r(phi) gelten lassen. Schwimmzeiten fehlen dort.
Der Realitätsbezug dürfte schwierig sein (parabolische Geschwindigkeitsprofile idealer Gewässer u.ä.).
Dank & Gruß, F. |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 21:22: |
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Stimmt das bisher überhaupt?
Nochmal die Bewegungsgleichungen:
r'(t) =vWcosf-vH (I)
rf'(t)= -vWsinf (II)
und ihre Lösung r(f)=c*{[tan(f/2)]^(vH/vW)}/sinf
Ausgehend von der Bewegungsgleichung (II) kommt man zu einer DGl., aus der man die Zeit erhalten kann:
rdf/dt = -vWsinf|*dt/(-vWsinf)
-rdf
-------- = dt
-vWsinf
Einsetzen von r(f)=c*[tan(f/2)]^v/sinf mit Abkürzung v=vH/vW
Integration mit Substitution z=tan(f/2) <=> sin²(f)=4z²/(1+z²)² führt auf
ò0 tdt = ò1 0 (-c/vW) zv(1+z²)²/(4z²) * 2dz/(1+z²)
= -2c/4vW ò1 0 zv-2(1+z²) dz
= -c/(2vW)[zv-1/(v-1)+zv+1/(v+1)]
= cv/(vW(v²-1))
= c vH/(vH²-vW²)
Somit kommt heraus, dass der Hund überhaupt nur dann beim Herrn ankommt, wenn seine Geschwindigkeit vH größer als die des Wassers vW ist, da sich für vH<vW eine negative Schwimmzeit ergäbe.
Im oben skizzierten Fall vH= vW dauert der Schwimmvorgang bereits unendlich lange, für alle vH mit vH<vW aus anschaulicher Überlegung ebenfalls. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 17:25: |
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Stimmt; wobei man auf die negative Orientierung des Winkels (rechts rum) achten muß.
Das Ergebnis hängt mit der (angenommenen) Dummheit des Hundes zusammen: Bei vW = vH beispielsweise schwimmt er direkt am anderen Ufer "auf der Stelle" parallel zum Ufer (also unendlich lange) Richtung H. |
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