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Marvin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 21:56: | 
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Ein Eimer ist mit Bier gefüllt. Man entnimmt ihm jeden Tag zwei Becher und füllt ihn dafür mit zwei Bechern Cola auf. Nach sechs Tagen besteht der Inhalt je zur Hälfte aus Bier und aus Cola. Welches Fassungsvermögen hat der Eimer?
*********
Ok, dass es nicht 24 Bechereinheiten sind, weiss ich nun auch :-) aber weiter..keinen Schimmer.
Bitte um Hilfe.
Ist dringend.
Danke |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 23:40: |
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Hi Marvin,
Nach sechs Tagen hat man 12 Bechereinheiten Bier
entnommen und 12 BE Cola hinzugefügt.
Der Anfangsstand des Bieres sei also x und der
Anfangsstand des Colas ist Null.
Nach sechs Tagen sind folglich x-12 BE Bier und
12 Einheiten Cola in dem Eimer. Da Cola:Bier = 1:1,
müssen auch 12 Becher-E. Bier in dem Eimer sein.
mfG
P.S.: Deine Lösung ist durchaus richtig, wenn hier
Dichte(Cola) = Dichte(Bier) angenommen wird. |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 06:16: |
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Deine Lösung ist falsch !
Hinweis :
Nach dem 1sten Tag :
Sind x Becher Bier und 2 Becher Cola drin.
Am 2ten Tag :
Es werden 2 Becher entnommen.
Da sich Cola und Bier aber ermischt haben, werden also nicht 2 Liter Bier sondern ein Cola-Bier-Gemisch entnommen. Danach werden wieder 2 Becher Cola reingefüllt.
Das geht so immer so weiter. Man nimmt also an jedem Tag etwas Cola wieder heraus bevor man wieder nachfüllt.
Zu der zeitlichen Abfolge :
es werden erst die 2 Becher entnommen und dann werden 2 Becher Cole dazugegeben.
Es ist also NICHT so, dass erst ein Becher entnommen wird , dann nacgefüllt wird, dann der 2te Becher entnommen wird und dann wieder aufgefüllt wird.
Bitte weiterhin um eine Lösung, soweit bin ich ja gekommen, aber mehr schaffe ich nicht.
grüsse + danke
p.s. : und @ Xell : danke, aber soweit war ich auch schon. |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 13:20: |
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Ok!
Gehen wir mal systematisch ran:
Der Bestand des Colas zum Tag t sei BC(t) und der Bestand des Bieres zum Tag t sei BB(t).
Nach Vor. gilt:
BB(0) = x; BC(0) = 0
Es wird davon ausgegangen, dass r(Cola) = Bier.
Dann gilt zu jeder Zeit:
BB(t) + BC(t) = x
Für Tag 1 gilt also:
BB(1) = x-2; BC(1) = 2
Tag 2:
zwei Becher Mischung werden entnommen.
BB(2) = x-2-2*(x-2)/x = x-2-2+4/x = x-4+4/x
=> BC(2) = 1-BB(2) = x-x+2+2*(1-2/x) = 4-4/x = 4* (1-1/x)
Tag 3:
BB(3) = x-4+4/x-2*((x-4+4/x)/x) = x-4+4/x-2+8/x-8/x²
= x-6+12/x-8/x²
=> BC(3) = x-x+6-12/x+8/x² = 6-12/x+8/x²
Tag 4:
BB(4) = x-6+12/x-8/x²-2*((x-6+12/x-8/x²)/x)
= x-6+12/x-8/x²-2+12/x-24/x²+16/x³ = x-8+24/x-32/x²+16/x³
=> BC(4) = x-x+8-24/x+32/x²-16/x³ = x+8-24/x+32/x²-16/x³
Tag 5:
BB(5) = x-8+24/x-32/x²+16/x³-2*(1-8/x+24/x²-32/x³+16/x^4)
= x-8+24/x-32/x²+16/x³-2+16/x-48/x²+32/x³-32/x^4
= x-10+40/x-80/x²+48/x³-32/x^4
=> BC(5) = 10-40/x+80/x²-48/x³+32/x^4
Tag 6:
BB(6) = x-10+40/x-80/x²+48/x³-32/x^4-2*(1-10/x+40/x²-80/x³+48/x^4-32/x^5)
= x-10+40/x-80/x²+48/x³-32/x^4-2+10/x-40/x²+80/x³-48/x^4+32/x^5
= x-12+50/x-120/x²+128/x³-80/x^4+32/x^5
=> BC(6) = 12-50/x+120/x²-128/x³+80/x^4-32/x^5
12-50/x+120/x²-128/x³+80/x^4-32/x^5 = x-12+50/x-120/x²+128/x³-80/x^4+32/x^5
<=> 12x^5-50x^4+120x³-128x²+80x-32 = x^6-12x^5+50x^4-120x³+128x²-80x+32
<=> x^6-24x^5+100x^4-240x³+256x²-160x+64 = 0
=> x ~ 0,96
Ich weiß, das ergibt wenig Sinn, aber was ist vn dem Ansatz zu halten?
mfG, ein verwirrter Xell :-| |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 13:40: |
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hallo
das sieht ziemlich kompliziert aus, aber die Lösung... ???
wenn x die grösse des Eimers angegeben in Bechern sein soll dann ist das Ergebnis mit ~ 0,96 sicher nicht korrekt.
also irgendwie muss es doch auch einfacher gehen.... |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 14:27: |
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Hi Marvin!
Es gilt doch ohne Zweifel stets ein Pegel in dem Eimer
von x, also BestandBier + BestandCola = x
BestandBier(Tag 0) = x
BestandCola(Tag 0) = 0
BestandBier(Tag 1) = x-2
BestandCola(Tag 1) = 2
Am zweiten Tag wird es jetzt etwas komplizierter, da
hier, wie gesagt, eine Mischung entnommen wird.
Um den Biergehalt der Mischung zu ermitteln, sehen wir
uns an, wiviel Bier und Cola am ersten Tag enthalten
waren. Das Verhältnis aus Biergehalt und Gesamtgehalt multipliziert mit der Anzahl der Becher
ergibt dann das entnommene Bier.
Also:
Biergehalt am ersten Tag: (x-2)/x
Es wird also am zweiten Tag 2*(x-2)/x entfernt.
Allgemein wird also immer 2*(Anteil(Bier)) entfernt, es ergibt sich also immer, wenn keine Rechenfehler
enthalten sind, ein Wert von < 2 Bechern, sobald der
Anteil des Bieres nicht mehr 100% = 1 beträgt.
So erhält man für den Biergehalt BestandBier(Tag t+1) die Rekursion:
BestandBier(Tag t+1) = BestandBier(Tag t) - 2 * BestandBier(Tag t)/x
Außerdem wissen wir, dass BestandBier(Tag 0) = x ist.
Damit sollte das Problem zu lösen sein.
mfG |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 14:34: |
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:-) es sollte zu lösen sein....
Leider nicht von mir.
Bräuchte die Lösung.
Die müsste ja irgendwie so lauten :
Das Fassungsvermögen des Eimers sind X Bechereinheiten.
Wäre nett wenn du es zu Ende rechnen könntest, da es für mich nicht möglich ist.
Vielen Dank. |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 15:17: |
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Hi Marvin!
Es gilt, wie oben angeschrieben:
BBier(t+1) = BBier(t) - 2 * BBier(t) / x
= BBier(t) * (1 - 2/x)
Da (1 - 2/x) < 1 für x > 0, gilt: lim [n->oo] an = 0, was klar ist.
Es wird immer Mischung entnommen und Cola hinzugefügt,
folglich ist nach "unendlich" vielen Versuchen KEIN
Bier mehr enthalten. (schon nach endlich vielen ist
kein Biermolekül mehr da!)
Es gilt für an, da es eine geometrische Folge ist:
an = (1 - 2/x)n * x
Ferner ist a6 = x/2
also: x/2 = (1 - 2/x)6 * x
=> x ~ 18,332
Bitte nachrechnen!
mfG |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 15:37: |
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Hallo,
also ich kenne den Lehrer nun schon so lange und kann mir nicht vorstellen dass es eine so komische Lösung ist.
Damit meine ich, so viele Stellen hinterm Komma.
Oder ist die Lösung :
55/3
( 55zig drittel ) ?
Dann ist das Ergebnis korrekt aber bei einer so komischen Zahl.
Hat noch jemand anders ausser Xell, <-- der mir jetzt schon soviel geholfen hat, eine Idee ???
danke |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 15:48: |
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Hi Marvin!
55/3 kann durchaus die richtige Lösung sein. Woher
hast du die Lösung? Zeig mal den Lösungsweg.
mfG |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:21: |
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hi Xell
bischen aneinander vorbeigeredet:-)
du hattest ca. 18,332
dass habe ich nur umgerechnet in ca 55 / 3
dass kann ich mehr als Lösung annehmen als deine komisch unförmige Zahl.
Ausserdem liegen die beiden Werte ja sehr nah nebeneinander.
Was ich nicht verstehe :
also: x/2 = (1 - 2/x)6 * x
würde gerne wissen , wieso es grade so aussehen ,uss.
danke |
Fireangel (Fireangel)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:22: |
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55/3 lässt sich meiner Meinung nach nicht rechtfertigen und Xell hat bereits alles gesagt.
Die exakteste Lösung, die ich kriege ist:
18,331590297653
Das ist genau 0,00174303568 kleiner als 55/3. |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:32: |
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@ fireangel:
und du hast auch die Lösung von von Xell kontrolliert ?
Ist wohl so richtig, oder ?
Möchte mich nochmal bedanken, aber wenn jemand noch ne Idee hat dann schreib sie bitte hin !
grüsse |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 19:35: |
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@Marvin:
Wenn ich deine 55/3 einsetze, erhalte ich
(1-(55/3))6*55/3-(55/3)/2 = 1933777 / 3019706250
Das mag zwar sehr klein sein ( ~ 0,00064), aber trotzdem
ungleich Null. Folglich ist 55/3 keine Nullstelle.
mfG, Xell (der sich immer noch fragt, ob es keine elegantere
Methode gibt, dieses Problem zu lösen) |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:05: |
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ich suche die auch, es muss eigentlich eine einfachere Darstellung der Lösung geben.
Ausserdem ist es ja nicht zu 100% genau dieser Wert sondern nur eine Annäherung.
Vielleicht gibt es da irgendne einfachere Darstellung. Ich weiss aber nicht wie man die findet.
Gibt es dafür nicht irgendwelche Programme ?
grüsse, |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:21: |
|
Die gibt es u.U. Sag mir erstmal, in welcher Klasse
du bist und in welchem Zusammenhang du die Aufgabe
bekommen hast. Vielleicht erklärt auch ein Fehler bei deinen
Angaben das "krumme" Ergebnis?
mfG |
Marvin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:52: |
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hi,
ham son verrückten Lehrer !
Klasse 10 Gym
Der stellt gern solche Sachen am Anfang einer Woche und will sie dann eine Woche später haben.
Wer in einer Woche dran ist, das wird ausgelost, nun war ich dran :-(
Normalerweise gehen solche Aufgaben immer recht einfach auf, aber bei dieser....
Hoffe das hat die geholfen !
Danke |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 00:27: |
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Hi Marvin!
Wenn du diese Aufgabe abgeben musst, ist es natürlich
wichtig, dass du sie auch verstanden hast. Wenn du noch
spezielle Fragen hast, dann melde dich nochmal.
Übrigens habe ich die letzte Gleichung auch m.H. eines
Computerprogrammes gelöst.
mfG
P.S.: Die Aufgabe kann mit Klasse10-Wissen durchaus
gelöst werden. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 10:26: |
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Nochmal zur rechnersichen Lösung am Ende :
Die Bestimmungsgleichung
x/2 = (1-(2/x))6*x kann man durch die Setzung t=2/x vereinfachen zu
1/t = (1-t)6*(2/t)
Diese hat die Lösung t=1-1/(6Ö2)
und somit x=(26Ö2) / ((6Ö2)-1) falls Dir das genauer ist Marvin. |
Marvin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 12:46: |
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hallo
naja, wir sollen eigentlich dann immer nur die Lösung sagen, und zwar die genaue !
Also die genaue Lösung ist :
1/t = (1-t)6*(2/t)
Und für t kann man 6 einsetzen (für 6 Tage), oder ?
also :
1/6 = ( 1-6)* 6 * ( 2/ 6 )
ist das so richtig ? |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 13:34: |
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@Marvin: Nein, die richtige Lösung ist die von Ingo angegebene.
Er hat die Gleichung durch eine sog. Substitution gelöst.
Er ersetzt also x durch einen anderen Term, wodurch
sich die Gleichung vereinfachen lässt und ersetzt am Ende wieder,
sodass die Auflösung nach x möglich ist.
Beispiel für eine andere Substitution:
a*(2*x)+b = 0
Jetzt ersetzen wir x: 2x := y
=> a*y+b = 0
<=> y = -b/a
Jetzt wieder rückgängig machen: y:= 2x
=> 2x = -b/a
<=> x = -b/(2a)
Hier ist eine Substitution zwar nicht notwendig, aber
es hilft dir vielleicht, zu verstehen, wozu es helfen kann.
@Ingo: Bravo für deine geschickte Substitution!
mfG |
Marvin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 14:31: |
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Alles klar,
also wenn mein Lehrer nun die Antwort wissen will,
was soll ich dann sagen, b.z.w an die Tafel schreiben ?
das was bei Ingo in diesem Beitrag ( Samstag, den 23. Juni, 2001 - 11:26 ) in der allerletzten Zeile steht ?
und dazu in Klammern die ungefähre Lösung von Fireangel :
18,331590297653
Oder wie würdet ihr das machen ?
vielen Dank |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 15:29: |
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Hi Marvin!
Ich würde erst einmal zeigen, wie ich es gelöst habe
und als Ergebnis die Gleichung "nach Ingo" auflösen
und anschließend eine Näherung auf maximal zwei Stellen
angeben. Mehr wirkt stark übertrieben und wird der Aufgaben-
stellung m.E. nicht gerecht. Also die Wurzeln anschreiben
und dann ~ 18,33 BE als Näherung angeben.
Ich denke aber, dass du die Sache mit der Substitution
nicht bringen musst in Klasse 10. Zum Eindruck schinden
und somit eine gute Note für's Zeignis holen, ist's aber
u.U. sinnvoll. ;-)
Dann solltest du allerdings das Vorgehen auch verstanden haben.
Wenn du das nicht hast, dann gib' einfach eine -nicht zu genaue!-
Näherung an. Dein Lehrer wird dich nicht verdammen,
wenn du eine Gleichung sechsten Grades nicht explizit auflösen kannst.
Hoffe, das hilft dir!
Mit freundlichen Grüßen,
Xell |
Marvin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 18:04: |
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hallo
würde gern wissen wie man diese ganzen mathematischen Zeichen auf dem PC schreibt,
also Wurzeln, Potenzen, oder z.b 6te Wurzel aus 2
Ich werd es nun wohl so machen :
An die Tafel soll nur das Ergebnis, er will nur sehen ob wir es können, sonst würde es solange dauern.
Den Term der bei Ingo in der letzten Zeile dieser Mail stand (Samstag, den 23. Juni, 2001 - 11:26 )
und darunter folgendes Ergebnis :
Die Volumen der Eimers entspricht dem Volumen von etwa 18,331590297653 Bechern
Findet ihr das gut so ?
Oder gibt es irgendwelche Mängel ?
Wichtiger ist ja die allgemeine Lösung, die werd ich jetzt mal in Worten schreiben da ich ja wie gesagt keine Mathematischen Zeichen kann.
Also : Allgemeine Lösung :
x = ( 2 mal 6ste Wurzel aus 2 ) durch (( 6ste Wurzel aus 2 ) - 1 )
Ist das so wie Ingo es auch meint ?
-danke-
Nur |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 18:23: |
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Potenzen schreibt man so:
2
\+{2}
Wurzeln so:
Ö2
\wurzel{2} |
Fireangel (Fireangel)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 10:40: |
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@Ingo: Sehr schön.
@Marvin:
Die Gleichung von Ingo hat auch zwei Lösungen, genau wie Xells, je nachdem ob du die Wurzel als positiven oder negativen Term deutest. Die beiden Lösungen entsprechen der von Xell (18,33usw.) und 1,05769811. Soviel zur Theorie.
Beziehst du diese Lösung wieder auf das Problem der Aufgabe, so wird klar, dass die zweite Lösung nicht für dieses Problem in Frage kommt. Weiterhin habe ich noch keine Becher oder Eimer gesehen, die im Messbereich von Nanolitern zu befüllen wären.
Deswegen reicht eine Lösungsangabe von ca. 18,33 Bechereinheiten aus. Hier kannst sogar von ca. 18 1/3 BE sprechen, um das Ergebnis anschaulicher zu präsentieren. Meine Darstellung diente nur zur Verdeutlichung, dass 55/3 keine EXAKTE Lösung sein kann.
Ich würde an deiner Stelle Ingos exakten Lösungsterm angeben und dann sagen, dass im gestellten Problem dieser Term ungefähr 18 1/3 BE entspricht.
Und: ja, so meint Ingo das.
Fireangel |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 12:52: |
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Ich schließe mich hier Ingo an und beende damit auch die
Diskussion zu diesem Thema (zumindest meinerseits).
lg |
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