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onkel.chrissie (onkelchrissie)
Neues Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 14:51: | 
|
hi leute, komm hier irgendwie net weiter:
es sei (V,b) ein euklid. raum und v1,...,vn vektoren. man zeige:
{v1,...,vn} ist genau dann linear unabhängig, wenn det(b(vi,vj))=/(ungleich)0 ist.
das b stellt doch das skalarprodukt dar, d.h., wenn ich das b anwende bekomm ich einen skalar raus, und dann soll ich die determinante von einem skalar bilden? wie soll das denn gehen?
hoffe ihr könnt mir helfen |
Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:11: |
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Bilde für JEDES i und j das Skalarprodukt. Das sind n² Werte. Diese zu einer nxn-Matrix formen und davon die Determinante berechnen. |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Neues Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:50: |
|
danke schon mal für die lösung, aber wie berechne ich denn die determinante einer nxn-matrix? |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 21:33: |
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Ehrlich gesagt, weiß ich momentan selbst nicht, wie die Lösung geht.
Aber, wenn ihr das Berechnen einer Determinante noch nicht gehabt habt, wird die Lösung natürlich sehr sehr schwierig ...
("gehabt habt" ... ist das korrektes Deutsch?)
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Tina (xz7lx3)
Neues Mitglied
Benutzername: xz7lx3
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 21:40: |
|
Hallo Zaph,
"hattet" wäre schöner, aber falsch ist "gehabt habt" nicht. Ansonsten sind Deine Ausführungen mehr als nur "formschön" ;-) |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 00:58: |
|
Na gut, für xz7lx3 noch mal:
Aber, wenn ihr das Berechnen einer Determinante noch nicht gehabt hattet, wird die Lösung natürlich sehr sehr schwierig ...
;-) |
Tina (xz7lx3)
Neues Mitglied
Benutzername: xz7lx3
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 02:14: |
|
Hallo Zaph,
warum hast Du "gehabt" beibehalten? Ich wollte "gehabt habt" durch "hattet" ersetzen, dann lautet der Satz folgendermaßen:
Aber, wenn ihr das Berechnen einer Determinante noch nicht hattet, wird die Lösung natürlich sehr, sehr schwierig...
Brauchst es aber nicht noch einmal zu wiederholen, ich glaube jetzt haben wir es, oder? |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 10:23: |
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Hallo Leute,
habe hier gerade in meinem "schlauen Buch" nachgeguckt:
Satz:
Sei A aus K^(nxn).
i) det A ändert sich nicht, wenn man zu der i-ten Zeile (bzw. Spalte) das alpha-fache der j-ten Zeile (bzw. Spalte) addiert.
ii) det A ändert das Vorzeichen, wenn man in A die i-te mit der j-ten Zeile (bzw. Spalte) vertauscht.
iii) det A multipliziert sich mit alpha, wenn man die i-te Zeile (Spalte) von A mit alpha multipliziert.
(mit 1<=i,j<=n)
Also vielleicht Gaußalgorithmus anwenden (wegen i)) bis obere Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Diagonaleinträge gerade die Determinante.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 13:40: |
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Hallo M.,
das Produkt der Diagonaleinträge ist NICHT die Determinante!
Sondern:
det(A) = (-1)n*(Produkt der Dagonaleinträge)
==================
|
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 20:15: |
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Hallo Fern,
Danke für den Hinweis. Muß nochmal in die Vorlesung reinschauen. Unser Prof. schludert immer etwas mit solchen Sachen und nachdem alles an der Tafel steht wird dann der Fehler nach und nach korrigiert.
Hatte es so in Erinnerung. Du hast aber wahrscheinlich Recht.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 20:33: |
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Hallo Fern,
kleine Frage:
Das (-1)^n, kommt das von der Gauß-Zerlegung oder gilt das allgemein bei einer oberen Dreiecksmatrix?
Dann wäre ja
___(1 0 0)
det(0 1 0) =(-1)^3=-1
___(0 0 1)
Die Determinante ist aber
__(1 0 )
1*(0 1 ) = 1*1-0*0=1
Oder meinst du etwas anderes?
(Kleiner Nachtrag:
Die obigen Regeln gelten für i!=j)
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 20:33: |
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Ich mache schon mal im Voraus die Grauzonenvermeidung für Fern.
;-)) |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 21:37: |
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Hallo M.,
meine oben angeführte Formel ist irreführend.
Und zwar ist der Buchstabe n nicht gut gewählt.
================
Wir gehen von einer (n,n) Matrix A aus und fragen nach det(A).
Dazu reduzieren wir die Matrix nach dem von dir beschriebenen Gauß-Algorithmus bis in jeder Zeile (Spalte) ein Pivotelement steht.
Die Pivots stehen Hauptdiagonale.
(Wir betrachten nur den Fall, dass keine Zeile lauter Nullen enthält - dann ist nämlich det(A) = 0 )
Es gilt: det(A) = (-1)r*(Produkt aller Pivots)
Das r (und nicht n wie ich geschrieben hatte), gibt die Zahl der beim Gauß-Algorithmus vertauschten Reihen an!
Dies geht auch aus deinem Punkt ii) hervor.
=======================================
Will man also die Determinante der Matrix:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
bestimmen, so liegt sie bereits in reduzierter Form vor und die Zahl der Vertauschungen ist 0 und damit ist der Faktor (-1)0 = +1
================================================
Beim Reduzieren also mitzählen wieviele Reihen eventuell vertauscht wurden.
Aber heutzutage rechnet sowieso niemand mehr "zu Fuß".
======================
Ich hoffe, dass ich nicht zuviel Verwirrung gestiftet habe.
Mit Grüßen, Fern |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 22:44: |
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Hallo Fern,
nein, keine Verwirrung (zumindest nicht bei mir!);-))
Es ist gut, dass du drauf aufmerksam machst. Also kommt es doch von dem Gauß-Algorithmus.
Also nach meinem (abgeschriebenen) Satz nach ii).
Hatte ich gar nicht mehr dran gedacht, dass es bei dem Gauß-Algorithmus sinnvoll sein kann, die Zeilen (Spalten) zu vertauschen.
Hoffe, dass das onkel.chrissie jetzt auch klar ist!
Mit freundlichen Grüßen
M.
|
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Junior Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 09:03: |
|
Also, ehrlich gesagt, hab ich jetzt gar keinen durchblick mehr, was ich wie machen muss, um die aufgabe auf die reihe zu kriegen! |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 10:35: |
|
Hallo OnkelChrissie,
es hat dir in diesem Thread ja auch noch niemand was erzählt, wodurch du mehr Durchblick hättest bekommen können.
Was du wissen musst:
Eine Determinante ist genau dann 0, wenn die Zeilen der Matrix linear abhängig sind.
Zeige also:
v1, v2, ..., vn sind lin. abh.
<=>
(b(v1,v1),...,b(v1,vn)), (b(v2,v1),...,b(v2,vn)), ..., (b(vn,v1),...,b(vn,vn)) sind lin. abh.
Ist gar nicht so schwer ... frag gern noch mal nach, wenn du es nicht hinkriegst. |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Junior Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 13:29: |
|
Hi Zaph, ich krieg´s nicht hin, kannst du mir vielleicht noch ein wenig helfen?
Wäre echt nett von dir. |
Christian_S
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 15:20: |
|
Hi onkel.chrissie
Zunächst mal eine Frage an dich;)
Studierst du zufälligerweise in Kaiserslautern??
Ich mach da nämlich Fernstudium und hab die gleiche Aufgabe. Auch andere deiner hier gestellten Aufgaben kamen mir bekannt vor.
Jetzt aber zur Aufgabe...
Ansatz wie bei Zaph.
Du gehst jetzt also davon aus, dass die Determinante ungleich 0 ist. Dadurch sind die Spalten linear unabhängig.
d.h.:
a1*b(v1,v1)+...+an*b(v1,vn)=0
.
.
.
a1*b(vn,v1)+...+an*b(vn,vn)=0
=> a1=...=an=0
Da b eine Bilinearform ist, habe ich das jetzt ein bißchen umgeschrieben:
b(v1,a1*v1)+...+b(v1,an*vn)=0
.
.
.
b(vn,a1*v1)+...+b(vn,an*vn)=0
Das noch ein bißchen weiter umschreiben:
b(v1,a1*v1+...+an*vn)=0
.
.
.
b(vn,a1*v1+...+an*vn)=0
Wäre in {v1,...,vn) der Nullvektor, würde nicht a1=...=an=0 folgen, also liegt der Nullvektor nicht in der Menge. Damit alle n Skalarprodukte 0 werden, muss also gelten:
a1*v1+...+an*vn=0
Da aber folgt a1=...=an=0 sind die Vektoren v1,...,vn linear unabhängig.
Ich hoffe mal das stimmt so. Am besten wärs, wenn Zaph oder jemand anderes sich den Beweis mal durchlesen würde, um zu sagen ob er stimmt.
MfG
C. Schmidt
ps:
Warum stimmt die Nummer des Beitrags nicht mehr? Zaph war doch vorher schon weit über 1000. |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 15:30: |
|
Du musst einfach nur hinschreiben, was es heißt, linear abhängig zu sein und die Linearität und positive Definitheit des Skalarproduktes ausnutzen.
(b(v1,v1),...,b(v1,vn)), (b(v2,v1),...,b(v2,vn)), ..., (b(vn,v1),...,b(vn,vn)) sind lin. abh.
<=> (per Definition)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
Sn i=0 ai (b(vi,v1), ..., b(vi,vn)) = (0, ..., 0)
<=> (klar)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
(Sn i=0 ai b(vi,v1), ..., Sn i=0 ai b(vi,vn)) = (0, ..., 0)
<=> (auch klar)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
Sn i=0 ai b(vi,vj) = 0 für j = 1, ..., n
<=> (Linearität von b(.,.))
(*)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
b(Sn i=0 ai vi,vj) = 0 für j = 1, ..., n
=> (klar)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
aj b(Sn i=0 ai vi,vj) = 0 für j = 1, ..., n
=> (auch klar)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
Sn j=1 aj b(Sn i=0 ai vi,vj) = 0
=> (Linearität von b(.,.))
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
b(Sn i=0 ai vi,Sn j=1 aj vj) = 0
=> (positive Definitheit von b(.,.))
(**)
es gibt a1, ..., an, die nicht alle Null sind, mit
Sn i=0 ai vi = 0
<=> (per Definition)
v1, ..., vn sind linear abhängig
Für die Rückrichtung kommst du von (**) nach (*) sofort, weil b(0,x) = 0 für alle x. |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 15:37: |
|
Oh, da ist Christian mir zuvor gekommen.
Hast Recht, die Nummer des beitrags stimmt seit einigen Tagen nicht mehr. Die automatische E-Mail-Benachrichtigung bei Antworten auf eigene Beiträge ebenso nicht.
Bei Christians Lösung finde ich die Begründung, warum a1*v1 + ... + an*vn = 0, etwas ausbaufähig. |
Orion (orion)
Neues Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 16:18: |
|
Hallo :
Fasse v_1,...,v_n als Zeilen einer Matrix M
auf, dann gilt det(M)=0 <==> v_1,...v_n l.a.
(v_1)^T,...(v_n)^T sind die Spalten
der transponierten Matrix M^T. Wegen
b(u,v) = u^T v (Standardskalarprodukt)
ist
(det(b(v_i,v_j)) = det(M^T M) = (det(M))^2
woraus die Behauptung folgt.
mfg
Orion |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 17:00: |
|
Sehr elegant, funktioniert aber leider nur mit dem Standard-Skalarprodukt und auch nur dann, wenn V = R^n.
(Beitrag nachträglich am 07., Juli. 2002 von zaph editiert) |
onkel.chrissie (onkelchrissie)
Mitglied
Benutzername: onkelchrissie
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 18:32: |
|
Vielen Dank, llieber Zaph für deine Hilfe.
Ja, Christian, ich studier in Lautern, man sieht sich dann dort, wenn du vielleicht im WS kommst. |
Christian Schmidt (christian_s)
Neues Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 20:16: |
|
Das verzögert sich wohl noch ein wenig ;)
Bin grad erst in die 13 gekommen...
MfG
C. Schmidt |
Orion (orion)
Neues Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 20:59: |
|
Zaph :
Ich denke, das funktioniert immer. Jeder
n-dimensionale IR- Vektorraum ist zu IR^n
isomorph, und ein beliebiges Skalarprodukt
<x,y> lässt sich als Bilinearform x^T A y
in den Komponentenvektoren x,y schreiben.
Es ist dann
(<v_i,v_j>) = M^T A M.
mfg
Orion
|
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 21:20: |
|
Hi Orion, wer hat denn gesagt, dass V isomorph zu R^n sein soll?? Es ist ja noch nicht einmal festgelegt, dass V endlich dimensional ist.
Z. |
Orion
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 07:25: |
|
Zaph :
Die übliche Definition des Begriffes
"Euklidischer Vektorraum" besagt, dass es
sich um einen endlich dimensionalen
reellen Vektorraum V mit einer ausgezeichneten positiv definiten Bilinearform (x,y)-> <x,y> handelt. Sei dim(V) = n und
(b_1,...,b_n) eine Basis,
x = sum[k=1...n]x_k*b_k . Die Abbildung
V -->IR^n mit x--> (x_1,...,x_n) ist ein
Isomorphismus: man darf x mit (x_1,...,x_n)
identifizieren.
mfg
Orion
|
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 16:15: |
|
Hi Orion,
das ist eine spezielle Definition. Ein euklidischer VR ist nicht notwendig endlich dimensional und für die Aufgabe braucht man es auch gar nicht.
clara |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 17:32: |
|
Sehe ich wie Clara.
Außerdem, selbst wenn der VR endlich dimensional ist, muss ja die Dimension nicht n sein. |
Christian Schmidt (christian_s)
Neues Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 18:25: |
|
Hi Zaph
Hab nochmal eine Frage zu meiner Lösung. Du hast Recht, meine Begründung am Ende ist nicht nur ausbaufähig, sondern falsch(glaube ich jedenfalls mittlerweile). Kann man das trotzdem noch irgendwie hinbiegen, dass das stimmt??
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 18:54: |
|
Um ehrlich zu sein, geht es in deinem gesamten Posting ziemlich drunter und drüber.
Um zu zeigen, dass v1,...,vn linear unabhängig sind, musst du mit
a1*v1 + ... + an*vn = 0
starten und DANN zeigen, dass a1 = ...= an = 0.
Die Rückrichtung hast du komplett unterschlagen.
Aber in der 13. darfst du das noch ;-) |
Christian Schmidt (christian_s)
Neues Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 19:06: |
|
Hi Zaph
Dann werde ich das alles nochmal neu machen oder deinen Beweis nehmen.
Das mit der Rückrichtung war mir schon klar, ich wollte nur sehen, ob wenigstens der Teil richtig ist. Da dies nicht der Fall ist, hab ich mir ein wenig Arbeit erspart.
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1211
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 22:16: |
|
Hallo Christian, versteh mich bitte nicht falsch! Dein Beitrag hatte durchaus gute und richtige Ideen. Nur die Strukturierung, die Reihenfolge lies einiges zu wünschen übrig. So etwas kann sehr leicht in die Hose gehen, weil dann schnell kleine, aber wichtige Details vergessen werden.
Versuch es lieber noch einmal selbst, ehe du es abschreibst!!
Z. |
Orion (orion)
Neues Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 08:02: |
|
Hallo clara, zaph :
Streng genommen gebe ich euch natürlich Recht, gestatte mir aber folgende (nicht
eigentlich mathematische sondern eher
didaktische) Einlassung: Wenn der Fragesteller nach eigenem Bekunden die
Berechnung von Determinanten "noch nicht
gehabt hat", dann darf man wohl getrost
davon ausgehen, dass ihm andere als
endlich-dimensionale Vektorräume kaum
je begegnet sein dürften.
Die obige Definition des Begriffs "Euklidischer Raum" findet man übrigens in gängigen
Lehrbüchern (z.B. M.Artin p.281).
mfg
Orion
|
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 14:18: |
|
Hi Orion,
es gibt aber auch andere gängige Lehrbücher in denen das eben nicht so gemacht wird, z.B. der Fischer oder Lorenz.
Das mit der Frage, wie man die Determinante einer nxn-Matrix berechnet habe ich so nicht verstanden. An einem konkreten Beispiel die Determinante zu berechnen ist manchmal sehr mühsam und aufwendig, aber nicht unmöglich. Will man aber ganz allgemein die Determinante einer Matrix berechnen ist es schon anders. Die einzige vollständige Formel die ich dafür kenne ist die von Leibniz und die ist im konkreten Fall nicht zu empfehlen. Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass man sich eine Aufgabe zur Berechnung auswählt, bei der man nicht mit den Begriffen klar kommt. Aber vielleicht hast du ja recht.
clara |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1213
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:00: |
|
... auch auf die Gefahr, mich zu wiederholen:
Selbst wenn der VR endlich dimensional ist, muss die Dimension nicht n sein. |
|
