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Beitrag |
    
Papst
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 22:37: | 
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Hallo!
Es geht um die Folge a_n:=(3-n)^3/(3n^3-1)
Wie kann ich diese Folge auf Beschränktheit und Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen.
Mit bestem Dank im Vorraus...
Papst |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 08:01: |
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Ich würde die Klammern ausmultiplizieren.
Dann alle Summanden in Zaehler und Nenner nurch n3.
Dann hast du (grob) folgendes:
a(n) = ( -1 + Nullfolgen ) / ( 3 + Nullfolgen )
Also ist a(n) konvergent. Der Grenzwert ist -1/3
Aus der Konvergenz folgt natürlich die Beschränktheit.
Man kann sich merken: Wenn der höchste Exponent von n im Nenner größer oder gleich dem größten Exponenten im Zaehler ist, dann konvergiert die Folge. Bei Gleichheit gegen den Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen von n.
Wenn der Exponent unten aber größer ist, dann ist a(n) selbst eine Nullfolge.
Gruß
Matriod |
Papst
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 14:32: |
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Hallo Matroid,
erstmal danke für die schnelle und sehr verständliche Hilfe!
Könntest Du mir vielleicht auch noch erklären, wie das Ganze bei dieser Folge aussieht ?:
a_n:=1+(-1)^n * n^2/2+3n+n^2
Danke...
Papst |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 15:12: |
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Diese Folge konvergiert nicht, weil sie nicht beschränkt ist.
Um das zu zeigen, reicht es ja positive n zu betrachten. Das deshalb, damit der alternierende Term (mit (-1)n) wegfällt.
Als für gerade n steht da:
a(n) = 1 + 3/2 n2 + 3n
Diese Folge ist nicht beschränkt, d.h. für kein e>0 existiert ein n0eN mit |a(n)|<e für alle n>n0.
Das ist aber auch offensichtlich, weil die Folge über alle Grenzen wächst. Man muß nur n groß genug wählen.
Wenn aber eine Teilfolge (die mit positiven n) nicht beschränkt ist, dann ist auch die Folge selbst nicht beschränkt. Wie müssen uns nicht mehr um die negativen n kümmern.
Gruß
Matroid |
Papst
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 17:04: |
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Hallo Matroid,
hm, ich befürchte, daß ich die zu untersuchende Folge falsch aufgeschrieben habe.
Also, im Zähler steht 1+((-1)^n)*n^2 und der Nenner sieht so aus: 2+3n+n^2
Deine Idee ist mir schon sehr klar und vorallem sehr einleuchtend, obwohl ich nicht verstehe wie Du auf 1+3/2n^2+3n kommst.
Vielleicht könntest Du mir das nochmal erörtern..
Danke!
Papst |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:10: |
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Aha, das ändert das Ergebnis,
aber nicht die Methode.
Alternierende Elementen in Folgen, bewirken evtl. daß die Folge für gerade und ungerade n gegen verschiedene Grenzwerte konvergiert. Wenn aber beide Grenzwerte übereinstimmen, dann konvergiert auch a(n) für beliebige n.
Betrachte die Folge a(n) für gerade n, also n=2k.
a(n) = [1+n2] / [2+3n+n2], teile durch n2. Ergibt: [ Nullfolge + 1 ] / [Nullfolgen +1] -> 1
Für ungerade n aber:
a(n) = [1-n2] / [2+3n+n2], teile durch n2. Ergibt: [ Nullfolge - 1 ] / [Nullfolgen +1] -> -1
Die beiden Teilfolgen konvergieren gegen verschiedene Grenzwerte. Folglich konvergiert a(n) nicht. Aber man kann sagen, daß die Folge a(n) zwei Häufungspunkt hat, nämlich 1 und -1.
Besser so?
Matroid |
Papst
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 22:39: |
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Hallo Matroid,
nun habe ich es verstanden!
Jetzt habe ich nur noch eine Frage an Dich:
Wie kann ich zeigen,daß -1 bzw. +1 die beiden einzigen Häufungspunkte sind ?
Papst |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 23:11: |
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Stimmt, das ist nicht notwendig so.
Aber da der Grenzwert eindeutig ist und die Folge a(n) für gerade n gegen 1 konvergiert und für ungerade n gegen -1 konvergiert und es keinen anderen Zahlen als gerade oder ungerade Zahlen gibt, gibt es auch keinen weiteren Häufungswert.
Gruß
Matroid |
Jens (Rozelowe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 13:11: |
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Hallo,
es soll gezeigt werden, dass die Folge
a_(n+1) = (1/2 * a_n) + (1/a_n) konvergiert.
Die Elemente sind Quotienten a_n = p/q.
Die Beziehung p^2 = 2 * q^2 + 1, welche für die
ersten Elemente zutrifft, soll ALLGEMEIN bewiesen werden.
Wie soll ich dies tun?
Danke im vorraus. |
anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 09:23: |
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