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Basti
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 07:07: | 
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Hallo! Ich bräuchte unbedingt mal eine bzw. zwei Antworten:
Nämlich Erstens:
sei a,x(0) >0 , sei a*x(0) < 2
sei x(n+1)=x(n)*(2-a*x(n))
Zu Zeigen: die Folge konvergiert und wie schaut der Grenzwert aus ( Ich vermute Grenzwert ist 1/a, aber ich kanns nicht wirklich beweisen.. )
Und Zweitens:
a,b>0, x(0)=2a
x(n+1) = 2a+b/x(n)
zu zeigen: folge ist beschränkt,
die Teilfolge für gerade n ist monoton wachsend, die teilfolge für ungerade n ist monoton fallend.
Beide Teilfolgen konvergieren, wie ist der Grenzwert, und wie ist der Grenzwert der gesamten Folge.
Persönliche Vermutung: Grenzwert ist a+sqrt(a^2+b)
Diese beiden Teufelsfolgen haben mich 3 Nächte gekostet, und ich weiss nicht wirklich weiter, deswegen bräcuhte ich DRINGEND eure Hilfe!!
Danke
Basti |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 14:05: |
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Hallo :
Hier ein paar Hinweise.
1) FŸr die Folge y(n) := 1/a - x(n) gilt die
Rekursion
y(n+1) = a*(y(n))^2
Offenbar ist 0 < y(n) < 1/a fŸr n >= 1
(Induktion !) sowie y(1) = a*(y(0))^2 < y(0),
ferner
y(n+1) - y(n) =
a*(y(n) - y(n-1))(y(n) + y(n-1)),
d.h. die Differenzen y(n+1)-y(n) haben alle
dasselbe Vorzeichen (-1). Die Folge (y(n) ist
somit streng monoton fallend und durch 0 nach unten beschraenkt, also konvergiert sie gegen
die kleinere der beiden Loesungen von y = a*y^2.
Es folgt lim y(n) = 0 ==> lim x(n) = 1/a.
2) Zunaechst zeigt man : FŸr alle n gilt
2a =< x(n) < x(1) = 2a + b/(2a).
Das ist ersichtlich wahr fŸr n = 0 und folgt
fŸr allgemeines n leicht durch Induktion.
FŸr die Differenzen d(n) := x(n+1) - x(n) gilt
nach der Rekursionsformel
d(n+1) = - d(n)*[b/x(n)x(n-1)]
Die d(n) haben also alternierendes Vorzeichen.
Leicht rechnet man nach, dass x(0) < x(2) und
x(3) < x(1). Daraus folgt die Monotonieaussage
Ÿber die beiden Teilfolgen. Die Iterationsvorschrift fŸr die fraglichen Teilfolgen
lautet
x(n+2) = 2a + b*x(n)/(2a*x(n) + b).
Jede dieser Folgen ist monoton und beschraenkt,
also konvergent. Der Grenzwert g ist die positive
Loesung der Gl.
g = 2a + b*g/(2a*g+b) <==> g^2 - 2ag-b = 0
==> g = a + sqrt(a^2+b).
Bemerkung: Anschaulich wird der Prozess klar, wenn
du den Hyperbelast y = 2a + b/x , x > 0
und die Gerade y = x zeichnest.
Gruss
Hans |
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