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Steffen (Zweiblum88)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 11:11: | 
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Hi ... jetzt will ich das hier doch auch mal probieren ... ich hab in Mathe jetzt 2 Wochen gefehlt und blick jetzt überhaupt nimmer durch was die wollen von mir :-( Das kann man jetzt glauben oder auch nicht auf jeden Fall wärs nett wenn mir jemand diese Aufgaben lösen könnte ... ruhig auch etwas ausführlicher. Jetzt wie schreib ich denn die ganzen Zeichen ...
Es sei sn = Summe von k=0 bis n über (i/2)^k
1.) Wie ergibts sich geometrisch (i/2)^k+1 aus (i/2)^k ? Man soll jetzt noch die ersten vier Folgeglieder in der komplexen Ebene skizzieren ... dass das hier etwas schwierig wird kann ich gut verstehn, aber vielleicht schafft trotzdem einer mir das verständlich zu erklären und wie ich die skizzieren soll.
2.) Berechne lim für n -> unendlich sn.
Für jemand der in Mathe fit ist dürfte das doch kein Problem sein, oder ? :-) Okay vielen Dank schonmal !
Gruss,
Steffen. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 14:07: |
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1.Du kennst die Vektordarstellung:
der k-te Vektor, der vom Ursprung auf (i/2)k zeigt ist (1/2)k lang
und, wenn k durch 4 teilbar ist, so zeigt er in richtung der positiven realen Achse
und, wenn k+3 durch 4 teilbar ist, so zeigt er in richtung der positiven imaginären Achse
und, wenn k+2 durch 4 teilbar ist, so zeigt er in richtung der negativen realen Achse
und, wenn k+1 durch 4 teilbar ist, so zeigt er in richtung der negativen imaginären Achse
der k+1-te Vektor ist halb solang wie der k-te und ist gegenüber dem k-ten um 90° gegen den Urzeigersinn gedreht.
2.Man kann die Summe anders schreiben:
s4*n=S4*n k=0(i/2)k=
Sn k=0(1/16)k-
1/4*Sn-1 k=0(1/16)k+
i/2*Sn-1 k=0(1/16)k-
i/8*Sn-1 k=0(1/16)k
s4*n+l=s4*n+i/2*(1/16)n;
s4*n+2=s4*n+i/2*(1/16)n-1/4*(1/16)n;
s4*n+3=s4*n+i/2*(1/16)n-1/4*(1/16)n-i/8*(1/16)n;
s4*n+4=s4*(n+1) (siehe oben)
Man kann alle k so ausdrücken: k=4*n+l, wobei k,nÎN und lÎ{0,1,2,3}; also sond alle möglichen Summen erfasst.
lim s4*n+l-s4*n=
n®¥
lim i/2*(1/16)n=0;
n®¥
lim s4*n+2-s4*n=
n®¥
lim i/2*(1/16)n-1/4*(1/16)n=0;
n®¥
lim s4*n+3-s4*n=
n®¥
lim i/2*(1/16)n-1/4*(1/16)n-i/8*(1/16)n=0;
n®¥
also ist nur der Grenzwert von s4*n ausschlaggebend:
lim s4*n=
n®¥
lim Sn k=0(1/16)k-
n®¥
1/4*lim Sn-1 k=0(1/16)k+
n®¥
i/2*lim Sn-1 k=0(1/16)k-
n®¥
i/8*lim Sn-1 k=0(1/16)k=
n®¥
(vgl. Formelsammlung)
(1+1/15)-(1+1/15)/4+i*(1+1/15)/2-i*(1+1/15)/8=
(16/15-4/15)+i*(8/15-2/15)=(2+i)*6/15=(2+i)*2/5 |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 14:39: |
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Hallo :
Die Folge (z_k) mit z_k := (i/2)^k ist eine geometrische Folge mit Anfangsglied z_0 = 1 und
Quotient q = i/2. Es gilt also
z_(k+1) = q*z_k = (i/2)*z_k.
Geometrisch bedeutet Multiplikation mit i/2 :
Drehung um pi/2 im positiven Sinn um den Fixpunkt
O, gefolgt von Streckung (Stauchung) mit dem Faktor 1/2.
FŸr die geometrische Reihe gilt dieselbe Summenformel wie im Reellen (Schulstoff):
sum(k=0..n)z_k = (1 - q^(n+1))/(1 - q)
= (1/5)*(4+2i)*[1 - (i/2)^(n+1)]
Wegen lim (i/2)^(n+1) = 0 erkennt man :
lim s_n = (4+2i)/5 . |
Steffen (Zweiblum88)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 18:36: |
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hey super danke :-) Ging ja richtig schnell. Eigentlich war die Aufgabe ja net so schwer ... trotzdem danke !
Gruss,
Steffen. |
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