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Jan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 10:38: | 
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Hallo.
Mit den Reihen stehe ich irgendwie auf Kriegsfuß.
Könnt ihr mir etwas unter die Arme greifen?
Zeigen Sie:
Ist a_n eine reelle, monoton fallende Zahlenfolge, so gilt: Die unendl. Reihe a_n konvergiert denau dann, wenn die unendl. Reihe 2^n*a_2^n konvergiert.
Ich finde hier absolut keinen Ansatz.
mfg,
Jan |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 15:36: |
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Hallo :
Die fragliche Aussage nennt man Verdichtungslemma.
Der Beweis geht so:
Sei S(N) := sum(n=1..N)a_n ,
T(M) := sum(m=0..M)2^m*a_(2^m)
Wegen der Monotonie von (a_n) gilt dann
(1) S(N)=<sum(m=0..M)[sum(n=2^m..(2^(m+1)-1))a_n]
=<T(M) falls N < 2^(M+1)
sowie
(2) S(N)>=sum(m=1..M)[sum(n=2^(m-1)..2^m -1)a_n]
>=(1/2)[T(M)-a_1] falls N >= 2^M > 1.
Aus (1) folgt: Wenn T(M) konvergent, so ist S(N)
beschraenkt, also konvergent. Umgekehrt ergibt sich aus (2): Wenn T(M) divergent, so auch S(N).
Gruss
Hans |
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