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Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 20:49: | 
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Die Folge a(n) von Vektoren aus R(k) sei rekursiv definiert durch
a(n+1) = A * a(n) + v (für n=0,1,2,3,4,....)
wobei v ein fester Vektor aus R(k) ein fester Vektor und A eine reelle diagonalisierbare kxk-Matrix mit
Bhoch(-1)*A*B=D
und D=diag (ß1,....,ßk) sei!
Man folgere:
Gilt: Betrag von ßj kleiner 1 für alle Eigenwerte ßj von A, so konvergiert die Folge b(n) (und hat den Grenzwert b=(E-D)hoch(-1) *w)
Daraus folgere man auch a(n) ist konvergent und für den Grenzwert lim a(n) = (E-A) hoch(-1) * v)
Vielen Dank!!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 13:43: |
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Hallo o:
mit w := B^(-1)v lautet die Rekursion fŸr die b(n) :
b(n+1) = D b(n) + w .
Induktiv schliesst man auf
b(n) = D^n b(0) + (D^(n-1) + ... + E)w
Linksmultiplikation mit D-E ergibt
(D-E) b(n) = (D-E) D^n b(0) + (D^n-E) w
Nach Vor. gilt nun lim D^n = O (Nullmatrix).
Ferner ist D-E invertierbar, also
lim b(n) = (E-D)^(-1) w
==> lim a(n) = B^(-1) (E-D)^(-1) B v
= (E-A)^(-1) v.
Gruss
Hans |
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