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Beitrag |
    
GhOsT
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 21:33: | 
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hi. ich würde mich über hilfe für folgende aufgabe freuen.
danke.
gruß |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 08:51: |
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Hallo :
Ich bezeichne die Folgen mit (a_n), (b_n), (c_n),
(d_n).
a) Man sieht mit blossem Auge : lim a_n = 1/3.
Beweis : FŸr n >= 2 ist
|a_n - 1/3| = (1/3)*(5n-7)/(n+1)(3n-1)
< (5/3)/(3n-1).
Dies wird kleiner als ein gegebenes eps > 0 wenn
nur n > (1/3){5/(3*eps) + 1}.
b) b_(n+1)/b_n = 10/(n+1).
Daher wird b_(n+1) < (1/10)b_n fŸr n > 100.
Also wird (b_n) fŸr n>100 majorisiert von einer geometrischen Folge mit Quotient 1/10, d.h.
lim b_n = 0.
c) lim c_n = 1 sollte klar sein (Schulstoff).
d) Setze (n+c)^(1/n) - 1 =: e_n, dann ist e_n>=0
und
n+c = (1 + e_n)^n
Entwickelt man die rechte Seite nach dem binomischen Satz und wirft alle Terme bis auf
jenen mit (e_n)^2 weg, so erhaelt man
n+c > (1/2)n(n-1)*(e_n)^2 ; n > = 2.
Daraus folgt
0 =< e_n < sqrt{2(n+c)/n(n-1)}
Offenbar gilt lim e_n = 0 und damit lim d_n = 1.
Gruss
Hans |
Dominique Schütte (Domschuette)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 16:12: |
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Hallo Hans! Ich verstehe bei deiner Lösung nicht, was du mit "Also wird (b_n) fŸr n>100 majorisiert von einer geometrischen Folge mit Quotient 1/10, d.h.
lim b_n = 0." meinst. Könntest du das vielleicht etwas erläutern?
bei aufgabe d ist doch der binomische Lehrsatz gemeint oder? da muesste es doch heißen:
1+sum{n=0,k}(n über k)*n^n-1+k*c^k oder? wie kommst du dann auf rausschmeissen der Terme |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 09:17: |
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b) Wenn 0 < b_(n+1)< q*b_n fŸr alle n >= n_0,
0 < q < 1, so gilt (Induktion !)
b_(n_0 + k) < q^k*b_(n_0).
Die rechte Seite strebt mit k--> oo gegen Null.
Also ist (b_n) eine Nullfolge.
c) Nach dem binomischen Lehrsatz ist
(1+e_n)^n = 1 + n*e_n + [n(n-1)/2](e_n)^2
+ weitere positive Terme. Wenn ich diese, ebenso wie den Term n*e_n, weglasse, so habe ich die
rechte Seite verkleinert, also gilt
n+c > 1+ [n(n-1)/2](e_n)^2 ==>
(n/2)(e_n)^2 < 1 + c/(n-1).
FŸr n > c+1 ist c/(n-1) < 1 , also
(e_n)^2 < 4/n ==> 0 < e_n < 2/sqrt(n).
Weil 2/sqrt(n) --> 0 fŸr n-->oo, so gilt lim e_n
= 0.
Gruss
Hans |
Tanja
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 13:17: |
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Servus Hans, wenn Du jetzt noch zeigen könntest, "daß eine Folge genau dann beschränkt ist, wenn jede Teilfolge eine konvergente Teilfolge enthält", ist bei uns in der Uni auch der Letzte glücklich!!!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 18:08: |
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Ich nehme mal an, Ihr dŸrft Euch auf folgenden
Satz (Standard-Vorlesungsstoff) berufen :
Jede beschraenkte Folge enthaelt (mindestens)
eine konvergente Teilfolge.
Die fragliche Folge heisse (x(n)). Es geht dann
um folgende Aussagen (1),(2) :
(1) (x(n)) ist beschraenkt.
(2) Jede Teilfolge (x(n_k)) [wobei k-->n_k eine
streng wachsende Folge von Indizes bezeichnet]
enthaelt eine konvergente Teilfolge.
Beh.: (1) <==> (2)
Bew.: a) (1)==>(2) : Mit (x(n)) ist jede Teilfolge
(x(n_k)) beschraenkt, sie enthaelt also nach obigem Satz eine konvergente Teilfolge.
b) (2)==>(1). Kontraposition : nicht(1)==>nicht(2)
Ann.: (x(n)) z.B. nicht nach oben beschraenkt. Dann gibt es zu jeder nat.Zahl k einen Index n = n_k, sodass x(n_k) > k. Die Folge k--> x(n_k)
enthaelt sicher keine beschraenkte, also auch
keine konvergente Teilfolge. Denn zu gegebenem M>0
gibt es hoechstens endlich viele k mit x(n_k) < M.
Also, dann denkt mal darŸber nach.
Good luck
Hans |
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