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Nico (xerocool)
Neues Mitglied
Benutzername: xerocool
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 16:25: | 
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Hallo, bin ziemlich neu in dem Forum, frisch an der Uni sozusagen und wurde heute mit Vektorräumen bombadiert ;-) hab mir auch die definition angeschaut, durchgearbeitet nur kann sie wohl nicht so richtig umsetzen ....
also die Frage ist :
Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von R^3 ?" ??
a) {(a1,a2,a3) | a1 + a2^2 + a3^3 = 0}
b) {(a1,a2,a3) | a1 = 0 und a1 + a2 + a3 = 0}
c) {(a1,a2,a3) | 5a1 + 7a2 + 11a3 = 13}
die Lösung zu c) weiss ich schon ;-)
das ist kein Unterraum, da der nullvektor nicht in dem Unterraum enthalten ist ... ok, aber wie setze ich nu die Definition auf a) und b) an
Wäre um ne Erklärung dankbar ... will das ja schliesslich lernen
Thx und grüsse}}
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 637
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Oktober, 2002 - 16:46: |
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Hi Nico
Ich hoffe mal ihr habt schon das Unterraumkriterium gemacht. Um zu nachweisen, dass eine Menge ein Unterraum ist, musst du nur nachweisen, dass die Menge nicht leer ist und abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation. Die restlichen Vektorraumaxiome ergeben sich daraus.
a) Das ist nicht die leere Menge, was relativ offensichtlich ist. z.B. liegt der Vektor (4,2,-2) in deiner Menge.
Aber jetzt zur abgeschlossenheit bzgl. der Addition.
Seien (a1,a2,a3) und (b1,b2,b3) aus deiner Menge.
(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
Jetzt müsste ja gelten:
a1+b1+(a2+b2)^2+(a3+b3)^3
Die ist aber normalerweise nicht der Fall, weil
(a2+b2)^2 ungleich a2^2+b2^2
und (a3+b3)^3 ungleich a3^3+b3^3
Die Menge ist übrigens abgeschlossen bzgl. der Multiplikation.
b)
Die Menge ist nicht leer. Kannst du leicht überprüfen mit Beispielen.
Abgeschlossenheit bei Addition.
(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)=0
Die Menge ist also Abgeschlossen bzgl. Addition.
Jetzt zur multiplikation mit einem Skalar.
r(a1,a2,a3)=(ra1,ra2,ra3)
ra1+ra2+ra3
=r(a1+a2+a3)=r*0=0
Also ist die Menge auch Abgeschlossen bzgl. der Multiplikation und somit liegt ein Untervektorraum vom R^3 vor.
c) hast du ja schon selbst richtig gelöst.
MfG
C. Schmidt |
Nico (xerocool)
Neues Mitglied
Benutzername: xerocool
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Oktober, 2002 - 07:06: |
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HiHo,
aber bei dem schritt =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)=0
setzt man da nicht vorraus, dass die Vektoren a und b entweder nullvektoren sind, bzw. dass einer der beiden nen Gegenvektor des anderen ist ?? |
Nico (xerocool)
Neues Mitglied
Benutzername: xerocool
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Oktober, 2002 - 07:23: |
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ich nochmal ;-)
ha ganz vergessen mich zu bedanken : THX *G*
aber wie ich auf die null komme ist mir immernoch ein kleines Rätsel .... oder vergleiche ich nur a1+b1+(a2+b2)^2+(a3+b3)^3 mit a1 + a2^2 + a3^3 und das dann ungleich dem anderen ist, sieht man ja *g* |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 640
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Oktober, 2002 - 13:18: |
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Hi Nico
aber bei dem schritt =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)=0
setzt man da nicht vorraus, dass die Vektoren a und b entweder nullvektoren sind, bzw. dass einer der beiden nen Gegenvektor des anderen ist ??
Du hast ja zunächst die beiden Vektoren
(a1,a2,a3) und (b1,b2,b3) aus deiner Menge gewählt. Für diese gilt also:
a1+a2+a3=0
b1+b2+b3=0
Jetzt untersuchst du ja, ob die Summe wieder ein Element deiner Menge ist.
D.h. ob der Vektor (a1+b1,a2+b2,a3+b3) die Bedingung erfüllt:
(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)=0
Dann habe ich halt umgeformt und mit der Voraussetzung oben folgt halt, dass die Gleichung stimmt. Somit hast du wieder ein Element deiner Menge.
Du solltest am besten noch beischreiben, dass laut Voraussetzung a1=0 ist und b1=0 und damit auch a1+b1=0.
aber wie ich auf die null komme ist mir immernoch ein kleines Rätsel .... oder vergleiche ich nur a1+b1+(a2+b2)^2+(a3+b3)^3 mit a1 + a2^2 + a3^3 und das dann ungleich dem anderen ist, sieht man ja *g*
Also, du weisst ja, dass a1+a2^2+a3^3=0 ist und b1+b2^2+b3^3=0.
Jetzt addierst du wieder die Elemente und schaust, ob sie in deiner Menge liegen.
Es müsste also gelten:
(a1+b1)+(a2+b2)^2+(a3+b3)^3=0
Multiplizieren wir das einfach mal alles aus:
a1+b1+a2^2+2*a2*b2+b2^2+a3^3+3*a3^2*b3+3*a3*b3^2+b 3^3=0
Nach Voraussetzung kannst du ja schonmal nen Teil wegstreichen, so daß wir nur noch haben:
2*a2*b2+3*a3^2*b3+3*a3*b3^2=0
Das ist aber nicht immer erfüllt.
Nehmen wir z.B. (4;2;-2) und (18;3;-3). Liegen beide in deiner Menge. Die Summe der Vektoren ist:
(22;5;-5).
22+5^2+(-5)^3 müsste 0 sein, ist es aber wie man sofort sieht nicht.
Ich hoffe mal das hilft dir ein bißchen weiter.
MfG
C. Schmidt |
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