| Autor |
Beitrag |
    
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 12:25: | 
|
Hallo Leute,
wenn ich einen VR oder UVR gegeben habe, z.B.
V={(a,b,c,d)€Q4|a+b+c+d=0)
gibt es dann ein bestimmtes Schema, nachdem ich eine Basis für V erstellen kann? Durch Überlegung kommt man z.B. auf (1,0,0,-1),(1,0,-1,0),(1,-1,0,0), aber das geht ja nur bei "einfachen" UVR. Angenommen, ich möchte um den Vektor(-2,-1,-3,6) "herum" eine Basis aufbauen (was nach Basisergänzungssatz ja gehen muß), wie geht man da vor ?
Danke schonmal
Thomas |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:36: |
|
Hi Thomas,
wenn Deine Rechnungen oben stimmen, dann weißt Du ja schon, dass V die Dimension 3 hat und dann brauchst Du zu Deinem einen Vektor nur zwei Vektoren hinzutun, die in V liegen, so dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Das ist dann zwangsläufig eine Basis von V.
gruß clara |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:36: |
|
Hi Clara,
danke erstmal, das war mir soweit eigentlich klar, meine Frage sollte eher so lauten :
Gegeben sei z.B. U={(a,b,c,d)€Q4|a+7b+4c-5d=0). U enthält den Nullvektor, ist abgeschlossen gegenüber Addition und Skalarmultiplikation und ist somit ein Unterraum. Gibt es jetzt ein Schema, nach dem ich vorgehen kann (ohne die Dim von U zu kennen), um eine Basis rauszubekommen , z.B. ein bestimmtes LGS aufstellen, oder ähnliches ?
Gruß
Thomas |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:57: |
|
Oh, habe gerade gemerkt, daß U kein Unterraum ist, also nehmen wir z.B. U={(a,b,c,d,e)€IR5|a+b+c+d+e=0}.Vermute zwar, der hat dim 4, aber tun wir mal, als wäre dim U unbekannt. Wie komme ich ohne Vermutungen/Raten auf eine Basis ? |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 18:07: |
|
Hi Thomas,
das LGS welches hier zu lösen ist, steht gerade in der Bedingung. Also bei Deinem Bsp. oben ist es:
a+b+c+d+e=0
Offenbar sind hier a,b,c und d beliebig wählbar und für e ergibt sich dann: e=-a-b-c-d. Damit hat man:
a = 1*a + 0*b + 0*c + 0*d
b = 0*a + 1*b + 0*c + 0*d
c = 0*a + 0*b + 1*c + 0*d
d = 0*a + 0*b + 0*c + 1*d
e =-1*a - 1*b - 1*c - 1*d
Und eine Basis von U wäre:
((1,0,0,0,-1),(0,1,0,0,-1),(0,0,1,0,-1),(0,0,0,1,-1)).
Hilft das weiter?
gruß clara |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 18:33: |
|
Ja, ich denke schon.
Hätte ich also U={(a,b,c,d)€IR4|a=d und b=c}
, so wären a und b frei wählbar, also
a = 1*a + 0*b + 0*c + 0*d
b = 0*a + 1*b + 0*c + 0*d
c = 0*a + 1*b + 0*c + 0*d
d = 1*a + 0*b + 0*c + 0*d
Und eine Basis von U wäre ((1,0,0,1),(0,1,1,0)}
Ich muß also die Bedingung irgendwie in ein LGS umbauen, mir die Spaltenvektoren ansehen und die linear unabhängigen raussuchen und habe dann die Basis und somit die Dimension (hier also 2). So bekomme ich für jeden arithmetischen Vektorraum eine Basis. Stimmt´s so ?
Gruß
Thomas |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 12:36: |
|
Hi Thomas,
ich denke schon, aber ich kann mit dem Begriff arithmetischen Vektorraum nichts anfangen.
gruß clara |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 13:22: |
|
Hi clara,
laut Kowalsky : Sei F ein kommutativer Körper und n>0 eine natürliche Zahl. Eine Folge a=(a1,...,an) von Elementen aus F wird dann ein n-Tupel genannt. Diese n-Tupel bilden mit der "normalen" Addition und Skalarmultiplikation einen n-dimensionalen arithmetischen Vektorraum über F, also Fn.
Insbesondere ist also IRn ein arithmetischer Vektorraum.
Wie ich für andere Vektorräume Basen finden soll, habe ich mir noch nicht klarmachen können, z.B. den Vektorraum der reelwertigen Funktionen. Beim Vektorraum der Polynome vom Grad <= n vermute ich als Basis (1,x,...,xn), aber wie gesagt, das ist alles irgendwie schwammig, weil es nur aus Vermutungen entsteht. Daher auch die Frage.
Danke für Deine Antworten.
Gruß
Thomas |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 388
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 14:04: |
|
Also mit den Polynomen das stimmt auf jeden Fall.
MfG
C. Schmidt |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 16:21: |
|
Hi Thomas,
danke, jetzt bin ich schlauer. Wir haben nur im Allgemeinen einen Vektorraum definiert.
Es gibt sogar Vektorräume zu denen mal niemals die Basis aufschreiben kann, wie z.B. R als Q-Vektorraum. Man weiß zwar, dass dieser VR eine Basis hat (jeder VR hat ja eine Basis), aber keiner hat sie jemals gesehen.
gruß clara |
Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 17:36: |
|
Hi Christian, clara
Ja, das mit den Polynomen stimmt, habe ich jetzt auch gefunden, aber die Überlegung war ja noch recht einfach, da man die Vektoren in diesem Vektorraum gedanklich noch einteilen kann. Aber wie geht man an allgemeine Vektorräume ran, wenn man die Basis suchen will ? Ich hatte gehofft, dafür gäbe es ein allgemeingültiges Schema f, an das man sich halten kann. Aber anscheinend ist hier genausoviel Kreativität gefragt wie beim allgemeinen Beweisen.
Mathe wird wohl erst wirklich einigermassen klar, wenn man die Evolutionsstufe eines Dritt- oder Viertsemesters erreicht hat... ;-)
Gruß
Thomas |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 20:53: |
|
Hi Ihr!
Wie war das eigentlich mit der Frage, wenn man einen Basisvektor gegeben hat und die anderen "drumherum" finden soll, weiß jemand wie das funktioniert??? |
|
