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Saskia
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 10:01: | 
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Hallo, wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen:
Man berechne mit Hilfe der Taylorreihen von cos x, tan x und e^x den Grenzwert:
lim (x ==> 0) (((5 + x) / (x tan x)) - ((4 cos x + e^x) / x^2)).
Wäre für jede rasche Hilfe sehr dankbar... |
dagobert_mathematicus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 21:59: |
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zu einfach!! frage doch beim Kindergarten...
hier gibts nur serioese wissenschaftler!!
siehe auch: Donald Duck, Lustige Geschichte
Band II - IV
oder Rezeptbuch deiner mutti geht auch... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 11:06: |
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Hi Saskia,
Im Namen des Hauses "zahlreich" möchte ich
mich entschuldigen
erstens dafür, dass Deine Frage bis heute
unbeantwortet blieb, und dass zweitens ein anonymer
Eindringling völlig deplazierte Bemerkungen glaubte
anbringen zu müssen.
Deine Aufgabe ist ganz und gar nicht trivial.
Wir nehmen das Ergebnis vorweg:
Der gesuchte Grenzwert ist - 1 / 6,
ein Resultat, das man auch mit Maple erhält.
Zur Herleitung brauchen wir die Reihenentwicklungen
für e ^ x, sin x und tan x ,die ich als bekannt voraussetze
Die gegebene Funktion f(x) schreiben wir als einen einzigen
Bruch:
f(x) = u(x) / v(x) mit
u(x) = 5 x + x ^ 2 - 4 sin x - e ^ x * tan x ,
v (x) = x ^ 2 * tan x
Die Anfänge der Reihenentwicklungen sehen so aus:
u(x) = 5 x + x ^ 2 - 4 x + 2 / 3 * x ^ 3 -1/30 * x^5
- [ 1 + x+ x^2 / 2+---] * [x + x^3 /3 +...]
= - 1 / 6 * x ^3 + O(x^4)
O(x^4) : Potenzen von x mit Exponenten > = 4
v(x) = x^3 + O(x^4)
Kürzt man im Bruch f(x) = u / v mit x^3 , so kann
der Grenzprozess x gegen 0 ausgeführt werden
und wir erhalten den angekündigten Grenzwert - 1 / 6.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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