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Matthias
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 18:16: | 
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Hi!
Wie berechne ich die oben angeführte Summe und für welche s konvertiert diese Summe?
mfG & Danke |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 23:58: |
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Interessante Reihe. Der Faktor 3 ist nicht wichtig, lassen wir weg. Wir gehen von der geometrischen Reihe aus:
Sum[n,0,Inf] z^n = 1/(1-z), |z|<1
Nun differenzieren wir dies nach z. (Dies ist im Konvergenzkreis |z|<1 zulässig. Alternative gleich)
Der 1. Summand fällt weg:
Sum[n,1,Inf] n z^(n-1) = 1/(1-z)^2
Multiplizieren mit z:
Sum[n,1,Inf] n z^n = z/(1-z)^2, |z|<1
(Der Konvergenzradius hat sich nicht geändert)
Oder elementarer:
Wir betrachten die endliche geometrische Reihe
Sum[n,0,N] z^n = (z^(N+1)-1)/(z-1)
Nun differenzieren wir dies nach z:
Sum[n,1,N] nz^(n-1) = (Nz^(N+1)-(N+1)z^N+1)/(z-1)^2
Nun lassen wir N->Inf und sehen, daß die rechte Seite (auf Zähler beschränken!) nur konvergiert wenn |z|<1. Also
Sum[n,1,Inf] nz^(n-1) = 1/(z-1)^2.
Sum[n,1,Inf] nz^n = z/(z-1)^2, |z|<1
Nun setzen wir z=1/s
Sum[n,1,Inf] n/s^n = s/(1-s)^2, |s|>1
Probiere bitte auch die Reihe, wo im Zähler n^2 statt n steht. |
Matthias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 16:00: |
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Vielen Dank!
eines ist mir unklar und zwar bei der elementaren Version: das differenzieren!
wieso ist [ (z^(N+1)-1)/(z-1) ]' =
[ Nz^(N+1)-(N+1)z^N+1)/(z-1)^2 ]
dachte nach der quotientenregel
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
also=>
[ (N+1)z^N - (z^(N+1)-1) ]/(z-1)^2
Wo liegt mein Fehler?
mfg |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 17:17: |
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Du hast bei der Bildung von u'v das v vergessen, also der Zähler lautet:
(N+1)z^N(z-1) - (z^(N+1)-1) = (N+1)z^(N+1)-(N+1)z^N - z^(N+1)+1 = Nz^(N+1)-(N+1)z^N+1 |
Matthias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 19:28: |
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Alles klar, vielen Dank! |
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