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Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 16:23: | 
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Hallo! Hoffentlich kann mir jemand helfen. Ich kann diese Aufgabe nicht und wir schreiben bald die Klausur zu diesem Thema!!!
ft(x)=(e^x-t)² ;D=R ; t ist größer als 0
1. Berechne abhängig von t: Schnittpunkte der Graphen und der Koordinatenachsen, Asymptoten, Tief-und Wendepunkte.
2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S von Gf und der zugehörigen Asymptote. Auf welcher Kurve liegt der Schnittpunkt?
3. Gft, die zugehörige Asymptote und die Gerade x=-u (u ist größer als 0) umschließen ein Flächenstück. Berechne dessen Inhalt. Was ergibt sich wenn u gegen + unendlich strebt?
4. Zeige, daß sich je zwei Graphen der Schar in genau einem Punkt P schneiden. Wann liegt P auf der y-Achse? |
Wolfgang
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 21:26: |
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Hallonym mal wieder!
Hast Du die Aufgabe richtig geschrieben? Man kann das ja umformen in e^(2x-2t) bzw. e^(2x)/e^(2t). Diese Kurvenschar hat aber außer der x-Achse keine Asymptote,außerdem würde sie diese nicht schneiden, und es gibt auch weder Extremwerte noch Wendepunkte. Und jetzt? |
hH.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 21:34: |
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Hi Anonymus,
1a) Wir berechnen zuerst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Mit der x-Achse : setze in der Funktionsgleichung y = 0 , und Du bekommst den
x -Wert des Schnittpunktes: aus e^x - t = 0 , e^x = t : t = lnt.
Mit der y-Achse : setze x = 0 , und es ergibt sich unmittelbar der y-Wert des
Schnittpunktes: y = (1 -t ) ^2
1b) Alle Kurven der Schar haben nur eine Asymptote, nämlich die Parallele zur x-Achse im
Abstand t^2 von der x-Achse , Gleichung y = t ^ 2 .
Begründung: es gilt lim y = t^2 für x strebt gegen minus unendlich
(Beachte das Verhalten der Exponentialfunktion e ^ x für x gegen minus unendlich)
1c) Wir leiten f(x) nach x ab (t wird dabei konstant gelassen) . Für die Ableitung benützen
wir die Kettenregel oder Du kannst vor dem Ableiten die Klammer lösen.
wir bekommen f ' ( x ) = 2* ( e ^ x - t) * e ^ x. = 2 * e^ (2 x ) - 2 t e ^ x
wir sehen sofort , dass für e ^ x - t = 0 d.h für e ^ x = t oder x = ln t die Ableitung
f ' (x) null ist und somit hier offensichtlich ein Extremum vorliegt. Dieser Tiefpunkt
ist übrigens derselbe Punkt auf der x-Achse, den wir bereits im Abschnitt 1a) gefunden
haben
(mit Hilfe der zweiten Ableitung können wir begründen, dass effektiv ein Minimum
vorliegt)
1d) Die zweite Ableitung erhalten wir am einfachsten aus der Darstellung der ersten
Ableitung ohne Klammern unter Benützung der Kettenregel; es kommt:
f '' (x) = 4 e ^ (2x) - 2 t e^x Um den Wendepunkt zu erhalten, setzen wir f''(x) = 0
dabei hebt sich ein Faktor e^x weg ,und wir erhalten aus t = 2* e^x für den x-Wert
des Wendepunktes schliesslich xw = ln (t / 2 ) .
Der Wert der zweiten Ableitung an der Nullstelle von f ' (x) ist 4*t^2 -2*t^2 = 2*t^2,
also positiv, somit liegt tatsächlich ein Tiefpunkt vor
Fortsetzung folgt ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 21:57: |
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Hi Anonimus ,
Wir gehen zu Punkt 2) über. Schnittpunkt einer Scharkurve mit der zugehörigen Asymptote y = t ^ 2
Gleichsetzung der y - Werte gibt die Gleichung für x :
t ^ 2 = (e^x - t) ^ 2 . Wir ziehen auf beiden Seiten sofort die Quadratwurzel und beachten, dass nur eine einzige Lösung in Frage kommt, nämlich: t = e^x - t woraus e ^ x = 2 t oder x= ln 2 t als x - Wert des Schnittpunktes S entspringt
(setze ja nicht t = - ( e^x - t ). woraus e^x = 0 folgt , was niemals zutrifft !)
Wie erhalten wir nun die Ortskurve des Schnittpunktes S
Die Koordinaten von S sind beide als Funktionen von t dargestellt , nämlich:
x S (t) = ln (2 t ) , y S(t) = t ^ 2.
Wir haben nun nichts anderes zu tun , als t zu eliminieren ; das geht so:
Wir setzen t - ½ xe^x aus der ersten Gleichung in die zweite ein und wir erhalten die Gleichung der gesuchten Ortskurve :
y = ¼* (e ^ x) ^2 = 1/4 * e ^ (2 x ).
Fortsetzung folgt ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 22:45: |
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Hi Anonymus,
Es folgt der dritte Streich !
Vorerst aber eine Druckfehlerberichtigung im zweiten Teil:
In der drittletzten Zeile muss es heissen: Wir setzen t = ½*e ^ x aus der ersten....
Nun zur Integration:
Da es sich um die Fläche zwischen der Asymptote mit der Gleichung y = t^2 und einer Scharkurve handelt , steht unter dem Integral die Differenz d(x) dieser beiden Funktionen , nämlich: d(x) = t^2 - (e^x - t )^2 = - e ^ (2 x ) + 2 t * e ^ x ., Eine Stammfunktion hiervon ist D(x) = - ½ * e ^ (2x ) + 2 t * e ^ x ( Kontrolliere durch Ableiten !).
Welche Grenzen sind nun massgeblich, um die verlangte Fläche A(u) zu berechnen ?
Untere Grenze : - u (mit positivem u erhalten wir einen Punkt auf der negativen x-Achse
als Anfangspunkt)
Obere Grenze: x-Wert xS des Schnittpunktes der Kurve mit der Asymptote, also x = ln (2 t )
(siehe unter Punkt 2 oben)
Setzt man diese Werte in die Stammfunktion D(x) ein und rechnet die Differenz
D(ln(2t)) - D (-u ) aus, so erhält man für die Fläche:
A(u) = 2 * t^2 + ½ *e ^ (-2 u ) -2 t * e ^ (-u ).
Benütze beim Einsetzen : aus x S = ln (2 t ) folgt e ^ ( x S ) = 2 t und umgekehrt.
Es ist jetzt nicht mehr schwierig, den Grenzwert dieser Fläche für u gegen + Unendlich zu ermitteln
Wir erhalten : lim A( u ) = 2* t^2 für u gegen plus Unendlich.
Bemerkungen
(1) Eine Empfehlung: Man stelle eine Scharkurve, z.B. diejenige für t = 2 , graphisch dar, etwa mit einem Computeralgebrasystem !
(2) Eine weitere Uebungsmöglichkeit ergibt sich für Dich, wenn Du die vor kurzem in diesem Forum gelöste Aufgabe von Thomas Steuer (8./9. 3 .2000) eingehend studierst!
Fortsetzung folgt |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 23:14: |
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Hi Anonymus,
Es folgt der vierte Streich:
Wir wählen zwei verschiedene t-Werte , etwa t1 und t2.
Dazu gehören die beiden Scharkurven C1 und C2 , nämlich:
C1: y = (e ^ x - t1) ^2
C2: y = (e ^ x - t2) ^2 ,
diese Kurven sind miteinander zu schneiden. Dies geschieht dadurch ,dass wir die beiden y-Werte gleichsetzen. Es entsteht die folgende Gleichung für den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Kurven: (e^ x - t1) ^ 2 = (e ^ x - t2 )^2.
Beim Quadratwurzelziehen müssen wir wiederum vorsichtig sein:
Diesmal folgt : e ^ x - t1 = - ( e ^ x - t2 ) , daraus entspringt : e ^ x = ( t1 + t2) / 2 oder
x= ln ( (t1 + t2 ) / 2 ) Nach leichter Rechnung findet man für den y-Wert des Schnittpunktes :
y = ¼*(t2 - t1)^2
Wann liegt dieser Schnittpunkt auf der y - Achse ? Offenbar dann, wenn x = 0 gilt , d.h .für t1 + t2 = 2
Ich glaube ,das ist wohl alles.- Angenehme Bettruhe allerseits !
Mit freundlichen Grüssen
H:R: |
Wolfgang
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 12:40: |
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Tschuldigung, hab die Aufgabe wirklich falsch verstanden. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 17:31: |
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Danke!!!!! Das hatte ich nie hingekriegt. Mal schauen ob ich das auch alles so nachvollziehen kann. |
Iuppiter
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 18:46: |
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Wie lautet die Extremstelle von e hoch 1-x?
Das ist echt wichtig. |
mori
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 12:30: |
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