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Tina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 22:42: | 
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Was ist
A) 2hoch2x+5 - 3mal2hochx+2 + 1 = 0
B)1973 hatte in der Bundesrepublik Deutschland der Bestand an Lebensversicherungen eine Vertragssumme von 369 Milliarden DM, 1983 von 981 Milliarden DM. Wie hoch war die jährliche Zuwachsrate (in Prozent), wenn diese als konstant angenommen wird? |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 22:56: |
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2^(2x) - 3*2^(x+2) + 1 =
2^(2x) - 3*2^x - 3*2^2 + 1 = 0
Substitution: Setze y=2^x
y^2 - 3y - 11 = 0
Das ist eine normale quadratische Gleichung (mit p-q-Formel lösen). Danach musst Du die Substitution wieder rückgängig machen.
B) 369 * x^10 = 981 ist die passende Formel (x^10 wegen 10 Jahre)
x^10 = 981/369 = 2,658
zehnte Wurzel --> x = 1,1027 ,
also war der jährliche Zuwachs 10,27%.
Gruß Dörrby |
Tina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:55: |
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Viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiielen Dank für die Hilfe!!!
Ich hab noch ein Problem:
Im Jahre 1974 betrug der Weltbleibedarf 3,39 Millionen t. Bei gleichbleibendem Bedarf würde der Bleivorrat nach damaliger Schätzung bis zum Jsahr 2021 (einschl.) reichen, sofern keine neuen Quellen erschlossen werden.
a) Auf wieviel Millionen t wurden die Weltbleireserven damals (1974) geschätzt?
b) Wie lange reicht der Vorrat, wenn der Bedarf (von 1974 an)mit einer jährlichen Zuwachsrate von 3% anwächst?
(Anleitung: Zeige zunächst, daß (1-q) (1+q+qhoch2+...+qhochn-1? Was ergibt sich für die Summe der ersten n Glieder der geometrischen Folge?)
c)Wie lange würde der Vorrat (bei einer jährlichen Zuwachsrate des Bedarfs von 3%)reichen, wenn 40% des jährlichen Bleibedarfs durch Wiederverwertung von Altmaterial gedeckt werden könnte? |
Tina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 14:01: |
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In der allerersten Aufgabe die du gelöst hast, muss es nicht heißen 2hoch2x, sondern sondern 2hoch2x+5. Das war ja gerade mein Problem. Kannst du sie bitte nochmal rechnen? Danke! |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 19:42: |
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Hallo doerrby, kannst du mal erklären, wie du in der Umformung
2^(2x) - 3*2^(x+2) + 1 =
2^(2x) - 3*2^x - 3*2^2 + 1
den Term -3*2^(x+2) in -3*2^x -3*2^2 umgeformt hast?
Meiner Meinung nach geht das so:
-3*2x+2 = -3 * 2x * 22 (Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis: von rechts nach links könnte die Umformung etwa so umschrieben werden: Zwei Potenzen (mit gleicher Basis) werden multipliziert, indem die Basis beibehalten wird und ihre Exponenten addiert werden)
Hi Tina, meinst du die Gleichung
22x+5 - 3*22x+2 + 1 = 0 ? |
Tina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 20:10: |
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Hi Bernd,
genau die Gleichung. Wär echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte. Schreibe am Montag nämlich Mathe.
Hab noch ne Frage:
Wie rechnet man 3*1,4hoch3t = 2hocht-1?
Vielen Dank schonmal. Brauche auch noch die Lösung für die Textaufgabe mit a),b) und c). |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 21:06: |
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Hi Tina,
Diese Gleichung hat keine Lösung. Beweis:
22x+5 - 3*22x+2 + 1 = 0
<=> 22x+2+3 - 3*22x+2 + 1 = 0
<=> 23 *22x+2 - 3*22x+2 + 1 = 0 |-1
<=> (23 - 3) *22x+2 = -1
<=> (8-3) *22x+2 = -1 | :5
es gibt keinen Exponenten 2x+2, mit dem man die positive 2 potenzieren kann,
um ein negatives -1/5 zu erhalten. Daher gibt es auch kein x. IL={} |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 21:18: |
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Hallo Tina, zu deiner letzten Frage:
3*1,4hoch3t = 2hocht-1, soll es heißen:
3*1.43t = 2t-1 oder 3*1.43t = 2t-1 ?
also, wenn du nicht auf die Lösung von a) kommst, dann muss das wohl eine Fangfrage sein, ich erhalte ganz simpel 3 390 000 (t pro Jahr) * 47 (Jahre) = 159.33 Millionen Tonnen.
Bevor ich mit diesem Ergebnis weiterrechne, sage mir bitte, falls da ein Denk- oder Verständnisfehler war. |
Tina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:10: |
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Nochmal Danke. Du bist echt einsame Spitze!
Auf die Lösung von a) bin ich auch gekommen, aber für den Rest bin ich einfach zu doof.
Bei der anderen Aufgabe ist das zweite gemeint, ich weiß nur nicht, wie man das schreibt. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 00:39: |
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b) Wenn 1974 3.39Mio t verbraucht wurden, wieviel wurden dann 1975 verbraucht?
3% mehr - also ist der Verbrauch 1975
3.39Mio*(1+0.03)
1976 wieder drei Prozent mehr, diesmal bezogen auf den Grundwert von 1975, also
[3.39Mio*(1+0.03)] *(1+0.03) = 3.39Mio *1.032
Allgemein ergibt sich so ein Verbrauch im Jahr j von 3.39Mio*1.03 j-1974
diese Jahresverbräuche müssen addiert werden, und zwar solange, bis der in a) berechnete Vorrat (dessen tatsächlicher Bestand natürlich dann gleich dessen Schätzung von 159.33Mio t bleiben muss) ausgeschöpft ist.
Dazu muss 3.39Mio*(1+0.03) + 3.39Mio *1.032 + 3.39Mio *1.033 + ... + 3.39Mio *1.03n = 159.33Mio gesetzt werden, und diese Gleichung nach n aufgelöst werden.
*****************************************************************************
Dazu sollte das Produkt (1-q)*(1+q+q²+...+qn-1) berechnet werden,
das kann auf dem Wege geschehen, dass jeder Term der letzten Klammer mit (1-q) multipliziert wird
(z.B. wie (a+b)*(c+d+e)=ac+ab+ad+bd+ae+be):
=1*1-q*1 +1*q-q*q +1*q2-q*q2 +1*q3-q*q3 + ... + 1*qn-1-q*qn-1
= 1-q +q-q2 +q2-q3 + ... +qn-1-qn
du siehst, jede Potenz von q1 bis qn-1 wird erst subtrahiert und dann wieder addiert (ja, auch das qn-1 wurde vorher subtrahiert, obwohl das nicht da steht), sie löschen sich also aus, übrig bleiben nur der erste und letzte Summand, die 1 und das -qn.
Also gilt (1-q)*(1+q+q²+...+qn-1) = 1-qn
teile auf beiden Seiten durch (1-q) und es ergibt sich die Summe der ersten (n-1) Glieder der geometrischen Folge
1+q+q²+...+qn-1 = (1-qn)/(1-q)
oder, mit n=m+1 (das grüne n wird nicht mehr benötigt), für die Summe der ersten m Glieder einer geom. F.
1+q+q²+...+qm+1-1 = (1-qm+1)/(1-q)
also für die Summe der ersten n Glieder mit m=n (das alte n wurde "weggeworfen") auch
1+q+q²+...+qn = (1-qn+1)/(1-q)
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Hier ist n gesucht.
Es war gesucht, welches n die Gleichung 3.39Mio*[(1+0.03) + 1.032 + 1.033 + ... + 1.03n] = 159.33Mio erfüllt.
Das q ist gleich 1 plus der jährlichen Zuwachsrate, q=1.03 (nennt man auch Zuwachsfaktor)
links steht aber der Term der Form
3.39Mio*(1+q+q²+...+qn) mit q=1.03, rechts die Zahl 159.33Mio
also teile auf beiden Seiten durch 3.39, rechts steht dann wieder die 47,
dies ist nach n aufzulösen:
1+q+q²+...+qn = 47
nach dem, was zwischen den Sternen steht, ist dies aber äquivalent zu der Gleichung
(1-qn+1)/(1-q) = 47 | *(1-q)
<=> 1-qn+1 = 47*(1-q) | + qn+1- 47*(1-q)
<=> 1-47*(1-q) = qn+1 | logarithmieren, z.B. mit dem Zehnerlog lg
<=> lg(1-47*(1-q))=lg(qn+1), mit dem Logarithmengesetz lg(qr)=r*lg(q) folgt
<=> lg(1-47*(1-q))=(n+1)*lg(q) | :lg(q)
<=> lg(1-47*(1-q))/lg(q)=n+1 | -1
<=> lg(1-47*(1-q))/lg(q) - 1 = n und mit q=1.03
=> lg(1-47*(-0.03))/lg(1.03)=n
lg(1+47*0.03)/lg(1.03)=n
n=29.76 in etwa, das heißt, der Vorrat reicht weniger als 30 Jahre lang aus, also wenn das Jahr 1975 das erste Jahr ist, ist 2004 das dreißigste, in dem Jahr ist etwa Anfang Oktober Schluss. (0.76*12 Monate > 9Monate)
Nochmal zu deiner Frage A) vom 1.Dez:
woher stammt die Aufgabe? Irgendwie will ich es nicht glauben, dass die so gemeint war. Du hast doch den Hinweis, sie mit Substitution zu lösen, da sollte man doch eigentlich auch erwarten, dies tun zu müssen.
Stand hinten vielleicht keine +1, sondern eine -1? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 01:01: |
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3*1.43t = 2t-1 schreibst du so: 3*1.4\+{3t} = 2\+{t-1}
auf beiden Seiten logarithmieren, z.B. mit dem natürlichen Logarithmus ln(..)
ln(3*1.43t) = ln(2t-1)
Logarithmengesetz ln(u*v)=ln(u)+ln(v), rechts Logarithmengesetz ln(br)=r*ln(b)
ln(3)+ln(1.43t) = (t-1)*ln(2)
links Logarithmengesetz ln(br)=r*ln(b)
ln(3)+t*3*ln(1.4) = t*ln(2) - 1*ln(2)
t*(3ln(1.4)-ln(2)) = -ln(2) -ln(3)
-ln(2) -ln(3)
------------- = t
3ln(1.4)-ln(2)
t=-5.6652927 in etwa |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 03:37: |
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oh, da war ja noch eine Teilaufgabe,
c) 40% werden geschont, d.h. es werden nur 60% des Bedarfs verbraucht.
Also Ansatz
0.6*3.39Mio*[1.03 + 1.03² + 1.03³ + ... + 1.03n] = 159.33Mio
[1.03 + 1.03² + 1.03³ + ... + 1.03n] = (1-1.03n)/(1-1.03) = (1.03n-1)/0.03
0.6*3.39Mio*[(1.03n-1)/0.03] = 159.33Mio
aufgelöst wie in b) führt dies auf
lg(1+0.03*(47/0.6))/lg(1.03)=n
n=40.9
Dann hält der Vorrat nicht ganz 41 Jahre bis in den November (0.9*12=10.8) des Jahres 2015.
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Wie schon gesagt, schau bei der Aufgabe A) mit der Substitution noch mal nach, ob sie vielleicht anders lautet.
Gruß, Bernd |
Tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 12:56: |
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Vielen Dank, Bernd. Du bist klasse!
Also, die Aufgabe ist aus meinem Mathebuch. Ich hab nochmal nachgeschaut und die Aufgabe steht da genauso, wie ich sie geschrieben habe. Aber dieses Buch ist sowieso total veraltet. Mein Jahrgang ist der letzte, der es benutzt. Die danach haben alle ein anderes bekommen.
Also, nochmals vielen Dank!
Grüße
Tina |
Tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 14:25: |
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Hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilfe!!!!!
In der Aufgabe hieß es doch nicht 3*2hoch2x+2, sondern 3*2hochx+2. Also:
2hoch2x+5 - 3mal2hochx+2 +1 = 0.
Megadringend!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Bernd wenn du mir nicht helfen kannst, dann bitte jemand anderes!!!!!!!!!!!!!!!!! |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 15:07: |
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Hi Tina, ich bitte um Vergebung, dass ich um 20:42 die Gleichung falsch aufgeschrieben habe, irgendwie hat die Doerrby und mich doch etwas verwirrt. An sich hat das zwar nichts mit der Schreibweise zu tun, doch wäre es vielleicht ganz gut, wenn du einen ganz kleinen Teil der Formatierungssprache benutzt, dann kannst du selber sofort sehen, ob das so aussieht, wie du es haben willst.
Folgende Gleichung wird z.B. so formatiert:
2\+{2x+5} - 3*2\+{x+2} +1 =0
Nachlesen kannst du hier was darüber
22x+5 - 3*2x+2 +1 =0
<=> 25 * 2x*2 - 3*222x +1 =0
<=> 32*(2x)2 - 12*2x + 1 = 0
substituiere u=2x
<=> 32 u2 - 12 u + 1 = 0 | :32
<=> u2 - 6u/16 + 1/32 = 0 quadratische Ergänzung von (3/16)2
<=> u2 - 2*3u/16 + (3/16)2 - 9/256 + 8/256 = 0
<=> (u-3/16)2 - (1/16)2 = 0, mit 3. binom. Formel
<=> (u-3/16 - 1/16) * (u-3/16 + 1/16) = 0
<=> u - 4/16 = 0 V u - 2/16 = 0
<=> u = 1/4 V u = 1/8, resubstituieren, u=2x
<=> 2x=1/4 V 2x=1/8 | logarithmieren mit log2
<=> x=-2 V x=-3 |
Tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 15:32: |
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Vielen Dank. Ich glaube, jetzt hab ich alle Aufgaben kapiert. Zumindest, was dieses Thema betrifft.
Du brauchst dich aber gar nicht dafür zu entschuldigen, dass du die Gleichung falsch geschrieben hast, ich muss mich entschuldigen, dass ich gesagt habe, dass das so richtig ist.
Also: Sorry.
Nochmal danke. Du bist mein ganz persönlicher Held! |
Ina Riedel (Inibienie)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 18:31: |
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Wer kann das mal von Euch schnell lösen?
Ich bin ratlos und "drehe mich im Kreis"!
In einem Braunkohletegebau haben 2 Bagger zusammen 85 Tage benötigt, um die Erde über der Braunköhle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 40% der Leistung des großen.
Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweils allein gearbeitet hätte? |
doerrby
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:18: |
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ÖFFENTLICHE ENTSCHULDIGUNG :
ICH HABE MIST GEBAUT !!
... und bitte Tina um Verzeihung. Natürlich hat Bernd recht, dass man so (siehe ganz oben) keine Potenzen auflöst !
Ich hoffe, der Faux-Pas hat noch keinen Schaden angerichtet. So wie B. Bernd am 3.12. um 16:07 geschrieben hat, ist es richtig.
Gruß Dörrby |
Tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:55: |
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Macht nix, Dörrby. Jetzt stimmt´s ja. Jeder kann sich mal vertun.
Gruß Tina |
Test (Test)
Moderator
Benutzername: Test
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2010 - 15:53: |
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Moin Tina,
kannst du mir sagen, wie dein Mathebuch hieß?
MfG
Tomi |
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