| Autor |
Beitrag |
    
Anke
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 18:02: | 
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Kann mir jemand die Lösung für diese zwei Gleichungssysteme sagen?
1:
3x+y+2z=0
-x+3y+z=5
x+y+z=2
Bei mir kam -6=7 und -3x-3y-3z=-6 raus, doch damit kann ich nichts anfangen.
Könnt ihr mir helfen?
2:
-7x+4y+3z=10
-4x+3y+2z=7
-x+2y+z=4
Worin liegt eigentlich der Sinn in Gleichungssystemen mit 3 Variablen?
Bitte antwortet bald!
Danke! |
kiki
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 18:43: |
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1)
3x+y+2z=0
x+y+2z=5
x+y+z=2
Aus 3x+y+2z=0 ergibt sich x=-y-z.
dies setzt man nun ein in die zweite gleichung:
-(-y-z)+3y+z=5
<=> y+z+3y+z=5
<=> 4y+2z=5 I:4
<=> y+2z=5/4
<=> y=5/4 -2z
Damit haben wir nun schon sowohl x als auch y. dies setzen wir nun in x+y+z=0 ein.
(-y-z)+(5/4-2z)+z=2
-5/4-2z-z+5/4-2z+z=2
-5/4-3z+5/4-z=2
-4z=2
z=-1/2 Hier haben wir nun also schon einen Wert fuer z. die werte fuer x und y erhalten wir durch Einsetzen des z-wertes.
wir hatten ja gesagt, das y=5/4-2z.
ersetzen wir nun z durch den Wert:
y= 5/4 - 2(-1/2)
y= 5/4 + 1
y= 9/4
Jetzt koennen wir sowohl z als auch y in die gleichung fuer x einsetzen:
x=-y-z
x= -9/4 -(-1/2)
x= -9/4 + 1/2
x= -7/4
Bei der 2. Aufgabe gehst du genauso vor. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 18:25: |
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Hi Anke, auf deine Frage
Worin liegt eigentlich der Sinn in Gleichungssystemen mit 3 Variablen?
kann ich vorerst nur sagen: In der Anwendung.
Wahrscheinlich kommt dies für dich eh schon zu spät. Wenn du jedoch genaueres wissen willst, frage nochmal nach. Die korrekte Lösung siehe jedenfalls weiter unten:
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Hallo kiki, woher nimmst du deine Behauptung
Aus 3x+y+2z=0 ergibt sich x=-y-z?
Wenn du die dritte Gleichung, x+y+z=2, umstellst, erhältst du x=-y-z+2, was einen Widerspruch dazu ergibt. Wenn du am Ende eine Probe gemacht hättest, hättest du merken müssen, dass deine Zahlen das Gleichungssystem nicht erfüllen.
Leider hast du im ersten Gleichungssystem von Anke die zweite Gleichung falsch übernommen, und zwar heißt die
-x+3y+z=5
und nicht x+3y+z=5.
So kommt es tatsächlich zu einem Widerspruch, ich weiß nicht, wie Anke auf ihren gekommen ist, aber wenn man z.B. die erste Gleichung zum 3fachen der dritten addiert, erhält man 10y+6z=15,
addiere die erste zum (-3)fachen der dritten, und erhalte -2y-z=-6,
10y+6z=15 teile diese durch 5 und addiere sie dann zu dieser,
-2y-z=-6, es ergibt sich der Widerspruch 0=-3.
Damit hat das erste Gleichungssystem keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer: IL={}
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Das zweite Gleichungssystem kann man dann nicht so lösen, wie das erste, denn hier wird sich zeigen, dass eine Variable unbestimmt (= beliebig, frei wählbar) bleibt
-7x+4y+3z=10 |*4
-4x+3y+2z=7 |*7
- x+2y+ z=4 |*(-28)
-28x+16y+12z=40, addiere hierzu die dritte
-28x+21y+14z=49, addiere hierzu die dritte
+28x-56y-28z=-112 | :28
-40y-16z=-72 | :8
-35y-14z=-63 | :7
x - 2y - z = -4
-5y -2z = -9
-5y -2z = -9
x - 2y - z = -4
Du siehst, die beiden ersten Gleichungen sind identisch, man kann keine der Variablen y oder z ausrechnen, wenn man nicht die andere kennt.
Es ergibt sich z.B. -5y+9 = 2z, also z=-5y/2 + 9/2
und mit einsetzen dieses Wertes für y in die dritte folgt
x - 2y -(-5y/2 + 9/2) = -4
x +y/2-9/2 = -8/2
x=-y/2 +1/2
so dass die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in Abhängigkeit von y angegeben werden kann:
IL = {(-y/2 +1/2 ; y ; -5y/2 + 9/2 ); y ÎIR}
*******************************************************
genausogut kann man die Lösungsmenge in Abhängigkeit von z angeben:
-5y -2z = -9 => -5y = 2z-9 => y = -2z/5 + 9/5
dies eingesetzt in die dritte führt auf x=-4z/5 + 18/5 + z - 4, also auf
x=z/5 -2/5
und damit
IL = {(z/5 - 2/5 ; -2z/5 + 9/5 ; z ); zÎIR}
*******************************************************
oder halt auch dementsprechend in Abhängigkeit von einem beliebigen x.
In beiden Fällen ergibt sich z.B. eine Lösung als
{(0;1;2)}, eine beliebige andere von unendlich vielen als {(1;-1;7)} |
Anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 15:33: |
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Danke!
Hab noch mal nachgerechnet und nun -12=7 raus, also ist die Lösungsmenge leer.
Beim 2. System hab ich folgendes raus (wir geben das irgendwie anders an... )
L( (x/y/z) / -5y-2z=-9 u.28x-16y-12z=-40)
Ist das nun so richtig?
Brauch die Lösung so schnell wie möglich!
Danke! |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 21:30: |
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Hallo Anke, klar, ist richtig, setz doch mal zur Probe einen der beiden beliebig herausgegriffenen Punkte (0|1|2) oder (1|-1|7) für (x|y|z) in deine Lösungsmenge ein, heraus kommt jedesmal eine wahre Aussage.
Gruß, Bernd |
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