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Marta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 20:36: | 
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Wie gelingt der Nachweis, daß drei aufeianderfolgende natürliche Zahlen, miteinander multipliziert, durch 6 teilbar sind?
Also: n*(n+1)*(n+2)/6 = ? |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 20:54: |
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Es steht im Prinzip schon alles da!
n(n+1)(n+2) = 6m
Es muss hier noch gelten das n > 0!
Ein Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 3 teilbar (0 darf kein Faktor sein). 3 aufeinander folgende Zahlen enthalten auf jedenfall eine gerade Zahl. Unser Produkt lässt sich dann wie folgt darstellen:
3n · 2q · z = 6m (n, q, z, m € lN) ==>
6·n·q·z = 6m ==> Da ein Faktor auf der linken Seite 6 ist, ist auch das Produkt durch 6 teilbar.
MFG
Robert
Robert Klinzmann
Schüler des EHGs
mailto: Emperor2002@Web.de
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 638
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 20:55: |
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Hi Marta!
Wir wissen, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es auch ist, also:
n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)
Man sieht direkt, dass diese Quersumme ein Vielfaches von 3 ist, also ist die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen teilbar durch 3.
Außerdem:
Wenn n gerade ist, dann ist auch n*[(n+1)(n+2)] gerade.
Ist n ungerade, dann ist (n+1)*[n(n+2)] gerade.
Also ist das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen immer gerade.
Zusammen ergibt sich hierfür die Teilbarkeit durch 6.
Man kann das bestimmt auch per Induktion machen, aber es geht ja auch ohne...
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Alwin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 21:16: |
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Hi Martin,
habe ich das so verstanden, dass du meinst,
n + (n+1) + (n+2) sei die Quersumme der Zahl n*(n+1)*(n+2) ?
Wenn ich deine Überlegung falsch verstanden habe, entschuldige bitte meine Vermutung. Ist nicht böse gemeint.
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 17:37: |
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Das kann nicht die Quersumme sein, denn:
z.B.:
n=10
n+1=11
n+2=12
10+11+12=33
Für die Quersummen ergibt sich:
QS(10)=1+0=1
QS(11)=1+1=2
QS(12)=1+2=3
Irgendwas stimmt da nicht....
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 17:56: |
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n*(n+1)*(n+2)=?
1. Fall:
Angenommen, n=3x mit x aus N. Dann ist n/3 natürlich, und (n+2) gerade => Behauptung !
2. Fall:
Angenommen, n=3x-1 mit x aus N. Dann ist n+1 durch 3 teilbar. Ist n nun gerade, so folgt die Behauptung direkt ( da dann auch n+2 gerade ist). Ist n ungerade, so ist aber n+1 gerade => Beh.
3.Fall:
Angenommen, n=3x-2. Dann ist n+2 durch 3 teilbar. Ist n gerade, so folgt die Behauptung. Ist n ungerade, so ist n+1 gerade => Beh.
FERTIG, sofern ich keinen DENKFEHLER habe...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:05: |
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Achja, mehr als 3 Fälle braucht man nicht. Denn dann wäre n=3x-3=3(x-1), also käme wieder Fall 1 in Betracht( siehe auch unten )...
Hallo Martin,
ich wollte dich noch auf etwas hinweisen:
n+(n+1)+(n+2) ist die Summe dreier aufeinanderfolgenden Zahlen, NICHT die Quersumme. Ausserdem würdest du dann die Summe der 3 Quersummen berechnen, wenns denn doch so wäre. Beachte dies bitte !
Aber ansonsten hattest du Recht, es geht auch ohne Induktion. Obwohl ich auch noch zeigen müßte, daß bei mir tatsächlich alle natürlichen Zahlen berücksichtigt werden. Dies tue ich noch folgendermaßen ( ohne richtigen Beweis
n=3x, x aus N:
{3,6,9,12,15,....}
n=3x-1, x aus N:
(2,5,8,11,14,...}
n=3x-2, x aus N:
{1,4,7,10,...}
Man sieht, dass die Vereinigung dieser 3 Mengen die Menge der natürliche Zahlen ergibt.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:10: |
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Sorry, mein 1.Fall ist auch falsch (eher unvollständig):
Angenommen, n=3x. Ist n gerade, so ist auch n+2 gerade. Also ist n durch 3 teilbar und n+2 durch 2.
Ist n nun ungerade, so ist n durch 3 teilbar ( nach Annahme), n+1 aber gerade, und somit wieder durch 2 teilbar => Behauptung.
Bitte Verbessern
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:16: |
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Ich glaub, ich schreins nochmal neu, im 2en Fall hab ich auch nen Fehler...
Bis gleich
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:26: |
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So, also nochmal von vorn:
1. Fall:
n=3x ( x aus N).
a) Ist n nun gerade, so ist n+2 auch gerade. Also ist n durch 3 teilbar und n+2 durch 2 => Behauptung.
b) Ist n nun ungerade, so ist n+1 gerade. Also ist n durch 3 teilbar und n+1 durch 2 => Beh.
2.Fall:
n=3x-1 ( x aus N). Dann ist n+1 durch 3 teilbar
a) n gerade => Da n durch 2 teilbar ist, n+1 durch 3 => Beh.
b) n ungerade. Dann ist n+1 durch 3 teilbar. Ferner ist n+1 aber auch gerade, also sowohl durch 3 teilbar als auch durch 2 => Beh. ( das hatte ich eben als Fehler gesehen, dachte es müßte nur eines gelten).
3. Fall:
n=3x-2. Dann ist n+2 durch 3 teilbar
a) n gerade:
Dann ist n+2 auch gerade => Beh. ( da n+2 durch 3 teilbar ist und n durch 2 teilbar ist)
b) n ungerade:
Dann ist n+1 gerade. => Beh. ( da n+1 durch 2 teilbar ist und n+2 durch 3 teilbar ist.
Dann ist aber n+1 gerade.
Hier nochmal zu sehen, daß tatsächlich alle natürlichen Zahlen berücksichtigt werden. Dies tue ich noch folgendermaßen ( ohne richtigen Beweis
n=3x, x aus N:
{3,6,9,12,15,....}
n=3x-1, x aus N:
(2,5,8,11,14,...}
n=3x-2, x aus N:
{1,4,7,10,...}
Man sieht, dass die Vereinigung dieser 3 Mengen die Menge der natürliche Zahlen ergibt.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 18:48: |
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n ungerade. Dann ist n+1 durch 3 teilbar. Ferner ist n+1 aber auch gerade, also sowohl durch 3 teilbar als auch durch 2 => Beh. ( das hatte ich eben als Fehler gesehen, dachte es müßte nur eines gelten).
Zu dem dick markierten sollte ich der Vollständigkeit halber auch noch einen Satz verlieren:
Dies gilt nur, da sowohl die 2 als auch die 3 Primzahlen sind !!! Beachte dies.
So, ich hoffe die letzten beiden Beiträge ( also dieser hier und der vorige ) sind besser strukturiert...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 19:05: |
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Nochmal zu diesem:
n ungerade. Dann ist n+1 durch 3 teilbar. Ferner ist n+1 aber auch gerade, also sowohl durch 3 teilbar als auch durch 2 => Beh. ( das hatte ich eben als Fehler gesehen, dachte es müßte nur eines gelten).
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Eigentlich hab ich mich da auch falsch ausgedrückt, müßte es korrekterweise so formulieren:
Da dann n+1 sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist, und 2 und 3 voneinander verschiedene Primzahlen sind, ist n+1 auch durch 2*3, also dem Produkt der beiden Primzahlen, teilbar...
So, hoffe jetzt keine Fehler mehr gemacht zu haben. Das nächstemal schreib ich mir so etwas auf einem Zettel vor, um nicht soviele Beiträge schicken zu müssen. Lies die letzten 3 Beiträge von mir durch ( einschließlich diesem), ich hoffe, da keinen Fehler gemacht zu haben...
@Martin:
Sorry, tut mir leid. So ganz habe ich deinen Beitrag auch nicht verstanden. Irgendwie folgerst du aus der Summe der Zahlen etwas über die Summe der Summen der Quersummen der 3 Zahlen...
Vielleicht ist es ja richtig, aber verstehen tue ich es auch nicht ! Zumal eine Summe ja auch keine Quersumme ist. Vielleicht erklärst du es nochmal...?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 19:14: |
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Wenn ich es aber doch richtig verstehe, sagt ihr doch folgendes:
Eine der 3 Zahlen n, n+1, n+2 ist durch 3 teilbar. Jeweils eine der 3 Zahlen ist gerade. Also sind die Produkte erst recht Recht durch (2*3) teilbar, da 2 und 3 voneinander verschiedene Primzahlen sind.
Tja, so hätte ich mir meine Fallunterscheidungen sparen können...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 19:55: |
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Das "Jeweils" durch "Mindestens" ersetzen...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Nisch
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:51: |
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Lieber Stevenerkel,
Kommt es auch mal vor, daß Du eine Antwort in einem einzigen Beitrag gibst? |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 20:01: |
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Ja, hier.
LOL
SORRY |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 642
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 12:55: |
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Hi allerseits!
Ich war weg, konnte hier nicht mitlesen.
meine kurze Antwort:
Ja, ich habe da wohl "+" mit "*" verwechselt!
Darf doch mal passieren, oder?
Also: Tut mir echt leid.
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 15:11: |
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Natürlich darf das mal passieren. Schau mal wie unstrukturiert meine Beiträge sind. Ich denke, daß ich mir das nächste mal einfach Sachen vorher aufschreibe, und vorher kontrolliere, was ich schreiben werde, anstatt hinterher, was ich geschrieben hab. Ist vielleicht sinnvoller...
Macht nix, denn wenn man etwas drüber nachdenkt, hattest du einen guten Ansatz ( => "Wenn ich es aber doch richtig verstehe, sagt ihr doch folgendes:
Eine der 3 Zahlen n, n+1, n+2 ist durch 3 teilbar. Jeweils eine der 3 Zahlen ist gerade. Also sind die Produkte erst recht Recht durch (2*3) teilbar, da 2 und 3 voneinander verschiedene Primzahlen sind.") Auf jeden Fall einfacher und übersichtlicher als meine 3 Fallunterscheidungen mit jeweils 2 "Unter-"Fallunterscheidungen...
PS: Ich verwechsle auch öfters mal etwas miteinander; das ist bei mir einfach "UNKONZENTRIERTHEIT" oder zu schnelle Schlüsse...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1089
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 17:16: |
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> Schau mal wie unstrukturiert meine Beiträge
> sind. Ich denke, daß ich mir das nächste mal
> einfach Sachen vorher aufschreibe, und vorher
> kontrolliere, was ich schreiben werde, anstatt
> hinterher, was ich geschrieben hab. Ist
> vielleicht sinnvoller...
BITTE, JAAA!
Glaubst du wirklich, dass Marta durch dieses Wirrwarr in irgend einer Weise schlauer geworden ist? Auf diese einfache Frage kann man wirklich in zwei Sätzen antworten.
Stevenerkel, bitte entschuldige dich nicht, fasse dich in Zukunft nur klarer und kürzer!!!
(Beitrag nachträglich am 21., Mai. 2002 von zaph editiert) |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 17:53: |
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Werd ich versuchen. Habs aber selber nicht so schnell gesehen, und oft sind Antworten mit 2 Sätzen einfach "unüberlegt" !
Bitte um Entschuldigung !
Und außerdem müßen diese 2 Sätze auch sorgfältig formuliert werden, SONST SIND SIE FALSCH !
PS: Arme Marta, tut mir leid...
(KEINE IRONIE)
Und hier nochmal die Antwort (für Marta):
Eine der 3 Zahlen n, n+1, n+2 ist durch 3 teilbar. Mindestens eine der 3 Zahlen ist gerade. Also sind die Produkte erst recht Recht durch (2*3) teilbar, da 2 und 3 voneinander verschiedene Primzahlen sind.")
(Wenn du das nicht glaubst, bist du an die Fallunterscheidungen von mir gebunden, Beitrag 17.Mai; 19:26 )
Ich habs schon versucht, manchmal klappts, und manchmal bin ich immer noch vorschnell mit meinen Beiträgen (auch wenn ich es aufschreibe). Vielleicht hast du ja eine Idee, wie ich das abstellen kann, Zaph ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1091
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 22:02: |
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Stevenerkel, lies bitte hier weiter. |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 11:22: |
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Hallo Zaph, lies bitte auch nochmal hier:
http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?
weiter !
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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