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Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 13:47: | 
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Hi Leute,
ich hätte da auch mal wieder eine Frage:
Auf welche Weise Unterscheiden sich die Funktionen y=a*tan(x);y=tan(b*x);y=tan(x-c) von der ursprünglichen Tangensfunktion y=tan(x)? (Im Bezug auf (Funktions-)Wertebereich,Periodenlänge,Nullstellen)
Giebt es bei der Tangensfunktion auch eine "Phasenverschiebung" (Unter welchen Bedinngungen?)
Wäre für eine Beantwortung bis kommenden Dinstag Dankbar.
Danke im voraus!
Ciao
Niels |
Berta
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 00:03: |
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Hast du einen grafikfähigen Taschenrechner? Wenn ja, laß dir die Funktionen zeichnen, ansonsten probier es selber (Wertetabelle)
a*tan x zieht die Ergebnisse auseinander, falls a größer als 1 ist (du hast auf der x-Achse 1 Kasterl als Einheit, auf der y-Achse a Kasterl als Einheit)
tan(bx)jetzt wird die x-Achse um den Faktor b (>1)zusammengeschoben (wo früher das Ergebnis von x war, ist jetzt das Ergebnis von b*x)
Stell dir für diese Beispiele vor, du zeichnest die Funktion auf einen ebenen Luftballon, den du in die Länge oder Breite ziehst (bzw für Werte kleiner 1 schrumpfen läßt)
tan(x-c) die Kurve ist um c nach rechts verschoben (wo früher der Wert von x war ist jetzt der von c Einheiten weiter links)
Was meinst du mit "Phasenverschiebung"? |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 13:30: |
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Hi Berta,
Die speziellen Funktionsgrafen habe ich schon per Computer ausgedruckt. Das Problem ist deren Interpretation, und wenn ich erlich bin habe ich schwierigkeiten deiner Kästienerklärung zu folgen.Ausdrücke wie z.b. stauchen und Strecken wären mir lieber. Was passiert denn nun mit der Periodenlänge und den Nullstellen?
Die Sinus und Cosinusfunktion sind doch zueinander Phasenverschoben. Bei der Funktion y=sin(x-c) wird die Sinuskurve phasenverschoben. Giebt es in der hinsicht parallelen zur Tangensfunktion?
Danke für die Erklärungen!
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 23:54: |
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Hi Niels!
Allgemein: f(x) sei periodisch.
Dann ist f(x-c) ebenfalls periodisch und zu f(x) phasenverschoben. Das gilt für Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens und alle anderen Funktionen, die irgendwie periodisch sind.
Noch allgemeiner: f(x) sei irgendeine beliebige Funktion (also nicht unbedingt periodisch).
Dann ist f(x-c) eine Verschiebung um c Einheiten nach rechts,
f(x)+c eine Verschiebung um c Einheiten nach oben,
a*f(x) eine Streckung in y-Richtung (wenn a>1)
a*f(x) eine Stauchung in y-Richtung (wenn 0<a<1)
f(a*x) eine Stauchung in x-Richtung (wenn a>1)
f(a*x) eine Streckung in y-Richtung (wenn 0<a<1)
Außerdem kann man den Graphen spiegeln
an der x-Achse durch -f(x),
an der y-Achse durch f(-x)
am Urspung durch -f(-x).
Nullstellen: Eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung oder eine Spiegelung an der x-Achse verändert die Nullstellen natürlich nicht (wenn f(x)=0 ist, dann ist a*f(x) auch =0.)
Eine Streckung oder Stauchung in x-Richtung verändert die Nullstellen. Wenn X eine Nullstelle von y=f(x) ist, dann ist X/a eine Nullstelle von y=f(a*x).
Bei einer Spiegelung an der y-Achse werden auch alle Nullstellen "gespiegelt" (bei der Tangens-Funktion ist dies allerdings witzlos)
Bei einer Verschiebung in x-Richtung werden die Nullstellen logischerweise auch verschoben.
Bei einer Verschiebung in y-Richtung kann alles mögliche mit den Nullstellen passieren. (z.B. hat cosx+2 gar keine mehr...)
Periodenlänge: Durch Verschieben oder Spiegeln kann sich die Periode einer periodischen Funktion nicht ändern. Streckungen oder Stauchungen in y-Richtung ändern ebenfalls nichts daran. Nur bei einer Streckung/Stauchung in x-Richtung wird die Periode länger oder kürzer.
Um ganz am Ende doch mal auf Deine konkrete Funktion zu kommen: f(x)=tan(x) hat normalerweise eine Periode von Pi (=180°)
Die Nullstellen liegen bei 0+n*Pi (wobei man für n jede beliebige ganze Zahl einsetzen kann.)
Würden wir nun g(x)=3*tan(4*x) betrachten, so hätten wir nun eine Periode von Pi/4, und die Nullstellen wären nun ebenfalls bei n*Pi/4. (n ganzzahlig)
Ich hoffe ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 17:52: |
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Hi Cosine,
Ich möchte (vorerst) bei der Tangensfunktion bleiben. Wenn ich dich richtig verstehe müßte bei der Tangensfunktio vollgendes passieren.
1) Unterschied zwischen y=tan(x) und Y= -tan(x)
-Tan(x) ist das Spiegelbild von y=tan(x).Gespiegelt wird jeweils an den parallelen, zur y-Achse verlaufenden orthogonalen Geraden, die jeweils durch k*pi (k Element von Z)also die Nullstellen der Tangenzfunktion schneiden.
2) y= a*tan(x)
Die Ursprüngliche Tangensfunktion (y=tan(x)
wird um den Faktor a unter der Bedingung a>1 in richtung y-Achse gestreckt (0<a<1 in richtung y-Achse gestaucht).
Nullstellen und Periodenlänge bleiben erhalten.
3) y=tan(b*x)
Die ürsprüngliche Tangensfunktion wird um den Faktor b, unter der Bedinngung b>1 in Richtung x Achse gestaucht (0<b<1 in Richtung x-Achse gestreckt)
Periodenlänge =pi/b; Nullstellen k*pi/b.
4) y=tan(x-c)
Die ursprüngliche Tangensfunktion wird unter der Bedingung c>0 in richtung x-Achse verschoben (c<0 nach links verschoben)
Nullstellen: k*pi+c;Periodenlänge pi+c
Der wertebereich bleibt immer gleich:
-Unentlich<y<Unentlich
Funktion y=a*tan(b*x-c)
Nullstellen: k*pi+c/b ;Periodenlänge pi+c/b
[sonst alles von 1)-4) anwendbar]
Kann man eigentlich vom kennen 3er Punkte P,Q;R die Funktionsgleichung einer Sinus-,Cosinuskurve,Tangensfunktion berechnen?
(müßte theoretisch möglich sein!)
Sind meine Annahmen korrekt?
Bitte um Überprüfung!
Danke nochmal im voraus!
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 22:55: |
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Hallo Niels!
1) Unterschied zwischen y=tan(x) und y= -tan(x) :
-tan(x) ist eigentlich das Spiegelbild von tanx gespiegelt an der x-Achse. Da die Tangensfunktion aber punktsymm. zum Ursprung ist, (d.h. tan(-x)=-tanx ) kann man dies ebenfalls als das Spiegelbild an der y-Achse ansehen. Und weil der Graph periodisch ist, kann man es auch -wenn man will- bezeichnen als das Spiegelbild an den parallelen, zur y-Achse verlaufenden orthogonalen Geraden, die jeweils durch k*pi (k Element von Z)also die Nullstellen der Tangenzfunktion schneiden.
Deine Antwort ist also nicht falsch, aber einfach Spiegelung an der x-Achse zu sagen, klingt einfacher.
2) y= a*tan(x)
Das ist alles korrekt.
3) y=tan(b*x)
Periodenlänge =pi/b; Nullstellen k*pi/b.
Das ist ebenfalls alles korrekt.
4) y=tan(x-c)
Nullstellen: k*pi+c;
ACHTUNG!!!
Periodenlänge IST NICHT pi+c (!!!), sondern immer noch pi. Die Periode gibt ja an, wieviele Einheiten man in x-Richtung "laufen" muss, bis sich die Funktion wiederholt. Hierbei ist die Phasenverschiebung c völlig egal.
Der wertebereich bleibt immer gleich:
-Unentlich<y<Unentlich
Das ist korrekt.
Funktion y=a*tan(b*x-c)
ACHTUNG!!!
Nullstellen: k*pi+c/b IST NICHT RICHTIG!!!
Wenn man die Nullstellen von a*tan(b*x-c) bestimmen soll, so sollte man sich einfach merken, dass der tan(...) Null wird, wenn das Argument ein ganzzahliges Vielfaches von pi, also k*pi ist.
Daraus ergibt sich die Bedingung:
b*x-c = k*pi
und x = k/b*pi+c/b
Periodenlänge IST NICHT pi+c/b, SONDERN NUR pi/b
, da -wie schon oben gesagt- die Phasenverschiebung keinen Einfluss auf die Periodenlänge hat.
Kann man eigentlich vom kennen 3er Punkte P,Q;R die Funktionsgleichung einer Sinus-, Cosinuskurve, Tangensfunktion berechnen?
Das ist eine schwierige Frage, die ich ohne Beweis anführen zu können, gefühlsmäßig verneinen würde.
Zumindest nicht immer! Beispiel: y=asin(bx+c) geht durch A(0;0), B(1;0) und C(2;0).
Eine Möglichkeit: y=sin(x/pi)
Genauso möglich wäre aber auch y=sin(x/(2pi)) oder y=sin(x/(4pi)).
Es treten also Probleme auf, die z.B. bei quadratischen Parabeln y=ax²+bx+c nicht auftreten, wenn 3 Punkte gegeben sind.
Ob Deine Aufgabe bei anders gewählten Punkten eindeutig lösbar ist, weiß ich noch nicht.
Ich hoffe, Du kannst Deine Fehler nachvollziehen können und ich habe beim Korrigieren keine weiteren gemacht.
Bei irgendwelchen Fragen stehe ich wie immer zur Verfügung.
In diesem Sinne,
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 13:37: |
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Hi Cosine,
ersteinmal danke für die Korrekturen. Meine gedanken waren wohl noch bei der Kosinus und Sinuskurve. Da aber die Tangensfunktion keine kurve in den Sinne ist, habe ich in diesen Punkte gepennt.
Das mit den 3 Punkten wahr ja auch nur so eine Idee-In Anlehnung der Parabeln-
ich dachte nur so, das von der reine Theorie man dan ein lösbares Gleichungssystem hätten.
Noch etwas:
Die Tangensfunktion ist ja-genauso wie Exponentialfunktionen-"monoton steigent"
Was läst sich sonst noch über die Steigung der Tangensfunktionen sagen?
Giebt es auch vielleicht so eine Art Steigungsfsaktor wie bei Geraden?
Wenn ich mir das recht überlege, ist das sprechen von stauchen und strecken bei der Tangensfunktion schwachsinnig!
Bedanke mich nochmal im voraus!
ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 22:19: |
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Hi Niels!
Es ist richtig, dass die Tangenskurve keine "richtige" Kurve ist, wenn Du unter "richtig" verstehst, dass sie stetig, d.h. zusammenhängend ist, da sie unendlich viele Definitionslücken hat, bei denen sie unendlich groß, bzw. unendlich klein wird. (=senkrechte Asymptoten = Polstellen).
Auf den offen Intervallen von einer Polstelle zur nächsten ist die Funktion dann streng monoton steigend.
Dumme Frage:
Warum meinst Du, sei es schwachsinnig bei der Tangensfunktion von Strecken und Stauchen zu sprechen???
Zu der Steigung der Kurve: Eine Gerade hat immer die gleiche Steigung, deshalb ist sie ja auch gerade. Die Steigung der Tangenskurve ändert sich andauernd. Wenn man sich z.B. den Polstellen nähert, dann nähert sich die Steigung der Kurve +unendlich.
Die Steigung von (nichtgeraden) Kurven wie dieser ist Thema der sog. Differentialrechnung, die normalerweise in der 11.Klasse durchgenommen wird.
Soviel vorweg: Angenommen Du willst die Steigung der Tangensfunktion an einer bestimmten Stelle x=a wissen, wobei a natürlich keine Polstelle sein darf, da eine Funktion da, wo sie nicht definiert ist, auch keine Steigung haben kann.
Also angenommen Du willst die Steigung der Tangensfunktion an der Stelle x=a wissen, dann ist die Steigung der Tangensfunktion an dieser speziellen Stelle: 1/(cos(a))^2
Den Beweis dafür erhälst Du in der 11.Klasse (oder in der 12).
Beispiel: Du willst wissen, wie die Steigung der y=tanx Funktion im Ursprung, d.h. bei x=0, ist. Also setzt Du für a=0 ein und erhälst als Steigung 1/(cos(0))^2. Da cos(0)=1 ist, ergibt sich also 1/1^2=1.
Die Steigung an der Stelle x=0 ist also 1. (Nebenbei die Steigung der Sinusfunktion an der Stelle 0 ist ebenfalls 1), deshalb sind für sehr kleine Winkel auch Sinus und Tangens fast identisch.
Soviel als kleinen Ausblick in die Differentialrechnung.
Ich bin jetzt einfach mal wegen Deiner Fragestellung und wegen dem Oberthema "Klassen 8-10: Trigonometrie" davon ausgegangen, dass Du davon bis jetzt noch nichts gehört hast.
Wenn Du weitere Fragen hast oder sonstirgendwas wissen willst, frage einfach nach. Allerdings könnte die Antwort etwas länger auf sich warten lassen, da ich nächste Woche nicht viel Zeit habe.
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 22:38: |
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Hmmm.... Vielleicht sollte ich irgendwann mal das Zeugs durchlesen, das ich hier hinschreibe.
Erstens:
In meinem -schon ewig her- Bericht vom Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 00:54 Uhr:
habe ich behauptet, dass
f(a*x) eine Streckung in y-Richtung (wenn 0<a<1)
sei.
Das ist natürlich FALSCH! Richtig ist:
f(a*x) ist eine Streckung IN X-RICHTUNG (wenn 0<a<1)
Zweitens:
Ebenfalls am Sonntag, den 25. Juni, 2000, aber um 23:55 Uhr habe ich dann behauptet, dass für die Aufgabe:
y=asin(bx+c) geht durch A(0;0), B(1;0) und C(2;0).
folgende Gleichungen als Lösungen in Frage kämen:
y=sin(x/pi) ; y=sin(x/(2pi)) ; y=sin(x/(4pi)).
Durch einfaches Einsetzen der Punkte merkt man aber schnell, dass AUCH DAS ABSOLUT FALSCH IST.
Richtig ist dagegen (und das hatte ich wohl gemeint):
y=sin(x*pi) ; y=sin(x*(2pi)) ; y=sin(x*(4pi)).
Ich hoffe mal, dass ich sonst keine Fehler eingebaut habe.
'Tschuldigung,
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 11:57: |
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Hallo Cosine,
Ich bin jetzt noch in der 10. Klasse, aber trotzdem danke für den kleinen Ausblick in die Differentialrechnung.
Auf den Gedanken, das es Schwachsinnig sei von Stauchen und Strecken zu sprechen, weil ich es mir schlecht an der Tangensfunktion vorstellen konnte. Bei der Sinuskurve habe ich es mir immer mit einen Gummiband verglichen, das man in die Länge ziehen kann.
Mal was Anderes:
arcsin;arccos;arctan Sind doch die Umkehrfunktionen von Sin, Cos und tan. Wieso sind arcsin,arccos und arctan nicht periodisch und warum besitzen arcsin und arctan den Wertebereich -pi/2<y<pi/2
(arccos W=0<y<pi)
Wiederum Danke im Voraus!
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 13:41: |
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Hi Niels!
Zuerst einmal zum Strecken und Stauchen: Ich verweise hier mal auf den Artikel von Berta ganz oben, in dem stand:
"Stell dir für diese Beispiele vor, du zeichnest die Funktion auf einen ebenen Luftballon, den du in die Länge oder Breite ziehst (bzw für Werte kleiner 1 schrumpfen läßt)"
Und das kannst Du mit jeder beliebigen Kurve machen.
Das mit den Umkehrfunktionen ist so eine Sache. Die Sinusfunktion ist ja bekanntlich periodisch und nimmt beispielsweise den Wert 1 beliebig oft an:
sin(pi/2)=1 ; sin(pi/2+2pi)=1 ; sin(pi/2+4pi)=1 u.s.w.
Wenn ich Dir jetzt also folgende Frage stelle "Wie heißt die Zahl a, für die gilt, dass sin(a)=1 ist?", dann kannst Du die nicht eindeutig beantworten, weil es eben unendlich viele x-Werte gibt, die den y-Wert 1 bekommen.
So ist es auch mit den anderen y-Werten von -1 bis +1.
Das heißt: die Sinusfunktion ist als Ganzes nicht umkehrbar, d.h. es existiert keine richtige Umkehrfunktion. Das gleiche gilt für alle anderen periodischen Funktionen.
Wenn wir uns allerdings auf den Bereich von -pi/2 bis +pi/2 beschränken, dann ist die Sinuskurve streng monoton steigend und damit umkehrbar.
Anders formuliert: Die Gleichung sin(a)=1 ist eindeutig lösbar, wenn man dazusagt, dass -pi/2<a<+pi/2.
Die Funktion arcsin ist nun die Umkehrfunktion der Sinusfunktion im Bereich -pi/2 bis +pi/2.
Die Lösung der Gleichung sin(a)=1 mit -pi/2<a<+pi/2 nennt man dann a=arcsin(1).(und das ist pi/2, nebenbei)
allgemein: sin(a)=b mit -pi/2<a<+pi/2 liefert a=arcsin(b)
Der Wertebereich der Umkehrfunktion ist immer der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion. Und da die Ausgangsfunktion die f(x)=sinx Funktion mit der Einschränkung ID=[-pi/2,+pi/2] war, ist dementsprechend auch der Wertebereich vom arcsin nur [-pi/2,+pi/2].
Für den arccos sieht die Sache etwas anders aus, da dieser auf dem Intervall [-pi/2,+pi/2] nicht monoton, also auch nicht umkehrbar eindeutig ist. (sieh Dir hierzu den Graphen an) Hier würde es also nichts bringen, sich auf diesen Bereich zu beschränken.
Der Cosinus ist aber streng monoton fallend auf dem Intervall [0,pi], weshalb man die Funktion arccos als die Umkehrfunktion im Intervall [0,pi] definiert hat. Deshalb hat der arccos dann auch den Wertebereich [o,pi].
Du musst also immer, wenn von arcsin, arcos oder arctan die Rede ist, wissen, dass diese Funktionen nur dann Umkehrfunktionen von sin, cos und tan sind, wenn man sich im richtigen Intervall befindet.
Bei der Aufgabe: Finde alle Lösungen: tanx=1
würden viele Schüler/innen einfach x=arctan(1) schreiben und auf diese Weise unendlich viele Lösungen verlieren.
Richtig wäre aber: Zuerst die Lösung im Intervall [-pi/2,+pi/2] zu finden, das IST dann arctan(1), was nebenbei pi/4 ist.
Und dann wegen der periodischen Eigenschaft der Tangensfunktion ein +k*pi hintendran zu hängen.
Korrekte Lösung von tanx=1 ist also x=pi/4+k*pi (k aus Z)
Ich habe jetzt ziemlich viel Zeug geschrieben und weiß nicht, ob ich damit irgendwie Deine Fragen beantwortet habe.
Falls nicht, frag nochmal nach.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 20:47: |
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Hallo Cosine,
ich habe da noch eine letzte Frage:
heißt "monoton steigend" so zu sagen, stetig steigend?
Auserdem noch etwas:
Sind trotz deiner Irrtümer meine Vermutungen immer noch korrekt?
Besten Dank bis hierhin.
Gruß
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 00:51: |
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Hi Niels!
"monoton steigend" heißt, dass nach rechts hin alle Funktionswerte größer werden. Wenn ich also den Funktionswert an der Stelle a und den an der Stelle b betrachte und b rechts von a liegt, das heißt, b>a ist, dann ist auch der Funktionswert von b größer oder gleich a.
Also folgt aus b>a immer auch f(b)>f(a) oder f(b)=f(a).
Das heißt: Die Funktionswerte dürfen auch mal gleich bleiben, sie dürfen nur nicht kleiner werden!
Kurven, die auf ihrem ganzen Def.Bereich streng monoton steigend sind, sind z.B.
y=mx+c (mit m>0)
y=x^3
y=a^x
y=logx zu irgendeiner Basis a>1
y=arctanx
y=arcsinx
NICHT MONOTON SIND:
y=x^2 (der linke Parabelast ist fallend, der rechte steigend)
y=sinx (steigt und fällt andauernd)
y=tanx
Die Tangensfunktion ist auf den Intervallen, die ich Dir genannt habe (von einer Asymptote zur nächsten) monoton steigend und damit umkehrbar. Allerdings nur auf jedem Intervall für sich betrachtet. Wenn ich zwei Funktionswerte betrachte, von denen der erste im einen Intervall und der zweite im nächsten Intervall liegt, dann muss der zweite nicht zwangsläufig größer als der erste sein: Beispiel a=pi/4 ; b=pi
Obwohl b eindeutig größer als a ist, ist f(b)=0 kleiner als f(a)=1. Die Tagensfunktion ist also -obwohl die Steigung überall positiv ist- nur auf lauter einzelnen Intervallen monoton steigend, sie ist nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich steigend.
Zu meinen Irrtümern: Meine beiden Irrtümer waren eigentlich Kleinigkeiten und von daher besteht keine Gefahr für Deine Vermutungen.
Noch was: Falls ich irgendwo eine Frage, die Dich interessiert hat, nicht ausreichend beantwortet habe, weil ich vielleicht nur noch mit Fachbegriffen um mich geworfen habe oder so, sag mir bitte Bescheid.
Ciao
Cosine |
Sonne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 08:06: |
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Cosine was soll die rechnung bedeuten???????????? |
Sonne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 08:11: |
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Niels schreib mir eine Rechnung.Bitte. Wenn du gerade am Computer bist. |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 17:47: |
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Hallo Cosine,
Deine Erklärungen und Ausführungen sind sehr ausfürlich und verständlich.
Trotzdem habe ich noch eine Bitte:
Wie Leite ich am einfachsten und besten die Formeln für Summen, Differenzen und Produkte der Winkelfunktionen her. Die einfachen "Additionstheoreme" habe ich schon selbst hergeleitet.
Kannst du mir in dem Punkt helfen?
Ich bedanke mich wieder im Voraus!
Zu Sonne:
Welche Rechnung meinst du?
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 23:08: |
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Hallo Sonne: Ich habe keine Ahnung, von welchen Rechnungen Du redest. Vielleicht kannst Du ja das, was Du wissen willst, so umformulieren, dass ich es verstehe.
Hallo Niels: Tut mir leid, aber im Moment kann ich Dir nicht helfen, da ich keine Zeit habe, aber vielleicht finde ich Donnerstag abend die Zeit dazu. Ich hoffe, es ist nicht allzu dringend. Vielleicht könntest du in der Zwischenzeit auflisten, welche Formeln Du genau meinst. Denn über trigonometrische Funktionen existieren tausende von Formeln, die alle irgendwie aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus folgen.
Tschuldigung, dass ich momentan keine Hilfe sein kann.
Vielleicht kommt ja jemand anderes in der Zwischenzeit vorbei und hilft Dir weiter.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 14:43: |
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Hallo Cosine,
Es ist schon OK wenn du keine Zeit hast. Es ist auch nicht dringend.
Ich meine Folgende Formeln:
(a=Alfa;b=Beta; Ich schreibe nur für 1 Funktion ein Beispiel; Formeln für alle 4 Winkelfunktionen brauche ich aber.)
sin(a)+sin(b)
Sin(a)-sin(b)
sin(a/2)
Sin(a)*Sin(b)
Sin2(a)
Ich hoffe das mir einer helfen kann.
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 23:20: |
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Hi Niels!
Da es sonst keiner zu tun scheint, werde ich mal mit ein paar Beweisen anfangen.
Die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus setze ich dabei voraus:
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
Außerdem setze ich voraus, dass bekannt ist, dass
sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)
sin(a)+sin(b)
=============
Definieren wir uns mal kurzfristig 2 neue Variablen x und y:
x=(a+b)/2
y=(a-b)/2
Das heißt die Summe aus x und y ist
x+y=(a+b)/2+(a-b)/2=(a+b+a-b)/2=a
Außerdem ist die Differenz von x und y ist
x-y=(a+b)/2-(a-b)/2=(a+b-a+b)/2=b
Das heißt wir können für a auch x+y und für b auch x-y schreiben:
Der umzuformende Ausdruck ließe sich also umschreiben als:
sin(a)+sin(b)=sin(x+y)+sin(x-y)
Nun wird die rechte Seite mit Hilfe des Additionstheorems der Sinusfunktion umgeformt zu:
sin(x+y)+sin(x-y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)+sin(x)cos(-y)+cos(x)sin(-y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)=2*sin(x)cos(y)
Nun schreiben wir das Ergebnis wieder mit den Variablen a und b und erhalten:
=2*sin((a+b)/2)cos((a+b)/2)
Also ist
sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
Exakt genauso lässt sich
sin(a)-sin(b)
cos(a)+cos(b)
und
cos(a)-cos(b)
beweisen.
Diese Formeln sind z.B. hilfreich, wenn man die Nullstellen von f(x)=sin(3x+5)-sin(4x) berechnen muss, da man eine Summe in ein Produkt umformt.
Wenn ich den Fall sin(a)+cos(b) zu berechnen hätte, würde ich den cos(b) einfach als sin(pi/2-b) und damit als Sinus schreiben.
Sin(a)*Sin(b)
=============
Beginnen wir mit dem Additionstheorem der Cosinus-Funktion (Gleichung 1)
(1.) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
Da dies für alle reelen a,b Werte richtig sein muss, können wir für b auch -b einsetzen:
(2.) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
(Hierbei wurde wieder die Tatsache verwendet, dass cos(-b)=cosb und sin(-b)=-sinb)
Nun sieht man, dass man sowohl durch Addition, wie auch durch Subtraktion der beiden Gleichungen auch der rechten Seite jeweils einen Summanden beseitigen könnte.
Zuerst die Addition:
(2.)+(1.) liefert
cos(a-b)+cos(a+b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=2cos(a)cos(b)
Durch 2 :
cos(a)cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2
Die Subtraktion würde liefern:
(2.)-(1.):
cos(a-b)-cos(a+b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)-cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)=2sin(a)sin(b)
Also:
sin(a)sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2
Die Formeln für Sin²(a) und für Cos²(a) erhält man , indem man für b a einsetzt:
Sin²(a)=(1-cos(2a))/2
Cos²(a)=(1+cos(2a))/2
Eine Formel für a/2 kann man erhalten, indem man in der Gleichung für Sin²(a) (oder Cos²(a)) für a a/2 einsetzt. Dann ergibt sich für die Sinus-Funktion:
Sin²(a/2)=(1-cos(a))/2
Um dies nach sin(a/2) aufzulösen, müssten wir nun die Wurzel ziehen, aber wir wissen nicht, ob wir die + oder die - Wurzel ziehen müssen. Allgemein ergibt sich also:
sin(a/2)=Wurzel ( (1-cos(a))/2 ) für sin(a/2)>0
und
sin(a/2)= - Wurzel ( (1-cos(a))/2 ) für sin(a/2)<0
Falls wir uns im Bereich des rechtwinkligen Dreiecks befinden (0<a<90°=pi/2), dann ist sin(a/2) natürlich >0 und wir können die obere Gleichung verwenden.
Natürlich gibt es auch noch andere Möglichkeiten z.B. sin(a/2) umzuformen. Aber ich hoffe, dass Du mit den Beweisen, die geschrieben habe, etwas anfangen kannst. Eventuell kommt morgen die Tangens-Funktion dran. Falls Du es selbst probieren willst: Führe einfach die Tangensfunktion mit tanx=sinx/cosx auf die Sinus- und Cosinusfunktion über und probiere dann solange mit den entsprechenden Formeln für Sinus und Cosinus um, bis das Ergebnis schön einfach aussieht. Und immer daran denken: sin²x+cos²x=1 und sin(x)=cos(pi/2-x)=cos(90°-x)
Das hilft manchmal.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juli, 2000 - 19:50: |
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Hi Cosine,
könntest du die entsprechenden Formeln für den Tangens herleiten?
Es eilt zwar nicht, ich wäre dir aber trotzdem Dankbar wenn du es balt tätest.
Grüße
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 01:49: |
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Okay, Niels.
Ich habe mich bis jetzt davor gedrückt und gehofft, dass es jemand anders übernimmt, weil ich das für Tangens nicht so leicht aus dem Ärmel schütteln kann wie für Sinus und Cosinus.
Versuchen wir's mal:
================================
Wir beginnen mit tan(a/2):
tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)
Hier verwenden wir nun die Tatsache, dass:
sin(a/2)=(+/-)Wurzel ( (1-cos(a))/2 )
und
cos(a/2)=(+/-)Wurzel ( (1+cos(2))/2 )
Somit haben wir schließlich:
tan(a/2)= (+/-) Wurzel ((1-cos(a))/(1+cos(a))
Wobei für tan(a/2)>0 natürlich das + und für tan(a/2)<0 das - vor der Wurzel zu wählen ist.
Das war die Formel, die ich hier im Online-Mathebuch von Zahlreich gefunden habe. Meiner Meinung nach lässt sich diese aber noch etwas vereinfachen, indem man den Bruch unter der Wurzel mit (1-cos(a)) erweitert:
(Für das Vorzeichen vor der Wurzel schreibe ich hier jetzt einfach v. Gemeint ist v=+1, wenn tan(a/2)>0 und v=-1, wenn tan(a/2)<0)
tan(a/2)= v*Wurzel((1-cos(a))(1-cos(a))/((1+cos(a))(1-cos(a)))
=v*Wurzel((1-cos(a))²/(1-cos²(a)))
=v*Wurzel((1-cos(a))²/sin²(a))
=v*|1-cos(a)|/|sin(a)|
, weil ja bekanntlich Wurzel(x²)=|x| ist.
cos(a) ist immer kleiner als 1, d.h. 1-cos(a)>0. => Die Betragsstriche um (1-cos(a)) können wir also weglassen. Also:
=v*(1-cos(a))/|sin(a)|
Der sin(a) ist nun aber immer dann >0, wenn tan(a/2) größer als 0 ist und er ist dann <0, wenn tan(a/2) kleiner als 0 ist. (Skizze von y=tan(x/2) und y=sinx beachten). Demnach können wir auf das v verzichten, wenn wir auch die Betragsstriche um den sin(a) wegnehmen, da dann der Sinus für das richtige Vorzeichen sorgt:
Das hieße also:
tan(a/2)=(1-cos(a))/(sin(a))
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Zu tan²a:
tan²a=sin²a/cos²a=(1-cos(2a)/2)/(1+cos(2a)/2)
=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))
Das kann man entweder so stehen lassen, oder nach ähnlicher Umformung wie eben umschreiben zu
=(1-cos(2a))²/sin²(2a)
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Kommen wir zu tan(a)*tan(b):
tan(a)*tan(b)=(sin(a)sin(b))/(cos(a)cos(b))
Bekannt ist nun, dass
sin(a)sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2
und dass
cos(a)cos(b)=(cos(a-b)+cos(a+b))/2
Somit erhalten wir
tan(a)*tan(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/(cos(a-b)+cos(a+b))
als eine Mögliche Formel. Ob man das durch Erweitern mit irgendwas noch vereinfachen kann, hab ich nicht ausprobiert.
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Für tan(a)+tan(b) habe ich nichts passendes gefunden. Höchstens das Additionstheorem für tan(a+b):
tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb)
Nun teilen wir Zähler und Nenner durch cosa und durch cosb:
Damit ergibt sich:
(sina/cosa+sinb/cosb)/(1-sina/cosa*sinb/cosb)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
Das kann man nun natürlich auch nach tana+tanb "auflösen":
tan(a)+tan(b)=tan(a+b)*(1-tan(a)tan(b)
Das wäre jetzt eine Formel für tan(a)+tan(b). Allerdings fällt mir momentan kein Fall ein, indem man die Formel so umgestellt gebrauchen könnte.
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Soviel dazu. Ich hoffe, das waren die Sätze, die Du bewiesen haben wolltest, da Du ja die linke Seite der zu beweisenden Formeln geschrieben hast.
Wahrscheinlich lassen sich einige noch umformen oder vereinfachen.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 11:38: |
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Hallo Cosine,
Danke für die Herleitung von tan(a/2)!
tan(a)+tan(b) Und tan(a)-tan(b) habe ich wärend der Englischstunde selbst im Kopf hergeleitet-eigentlich simpel das Ganze!
tan(a)+tan(b)
Ich ersetze laut Tangensdiffinition:
tan(a)=sin(a)/cos(a)
tan(b)=sin(b)/cos(b)
Der Rest ist elementare Bruchrechnung!
sin(a)/cos(a)+sin(b)/cos(b)
Der Hauptnenner ist das Produkt der Einzelnenner:
1. Bruch mit cos(b) und 2.Bruch mit cos(a) erweitern.
sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)/cos(a)*cos(b)
Durch scharfes hinsehen erkennt man im Zähler das Additionstheorem der Sinusfunktion.
Es Folgt also:
tan(a)+tan(b)=sin(a+b)/cos(a)*cos(b)
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so steht es auch in den Formelsammlungen.
tan(a)-tan(b) wird analog bewiesen.
Bei tan(a)*tan(b) bin ich aber ebenfals ratlos.
Ich tüftel mal ein wenig...
Wenn ich es herausgefunden habe kann ich mich ja -wenn du willst-melden.
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 13:03: |
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Hi Niels.
Doch, ich wäre schon an einer Antwort interessiert. Wenn Du etwas herausfindest, lasse es mich wissen.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 18:11: |
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Hallo Cosine,
ich habe mal ein klein wenig herumgetüfftelt...
Hier mein Lösungsvorschlag:
Zuerst beweisen wir analog zur Tangensfunktion:
Cot(a)+cot(b)=?
=cos(a)/sin(a)+cos(b)/sin(b)
=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)/sin(a)*Sin(b)
Cot(a)+cot(b)=sin(a+b)/sin(a)*sin(b)
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Nun zum Tangens:
tan(a)*tan(b)=?
=sin(a)*sin(b)/cos(a)*cos(b)
Diesen Bruch mit sin(a+b) erweitern und auseinander pflücken.
sin(a+b)/cos(a)*cos(b)*sin(a)*sin(b)/sin(a+b)
Der linke Bruch ist tan(a)+tan(b); der rechte Bruch ist der Kehrwert von cot(a)+cot(b) also folgt daraus:
tan(a)*tan(b)=tan(a)+tan(b)/cot(a)+cot(b)
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Ich gebe zu, es war nicht leicht. Aber, ich hoffe, du kannst ihn nachvollziehen.
Das schwierige an dem Beweis war nämlich, zu verstehen was cot(a)+cot(b) ist.
Wie findest du mein Beweis?
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juli, 2000 - 11:59: |
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Hi, Niels!
Doch, echt nicht schlecht, der Beweis.
Kann man so lassen.
Ciao
Cosine |
Eva
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 13:42: |
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Hallo,
ich bin neu hier und habe eigentlich eine gaanz dumme Frage. Ich müsste nämlich genau wissen, was Tangens ist und wie man darauf kommt. Mein Problem ist nämlich, das ich ein Referat halten muss darüber und in keinem Lexikon etwas passendes finde!
Danke schonmal im Voraus
Eva |
Kai
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 21:44: |
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Hallo Eva, bitte bei neuen Fragen immer neue Beiträge aufmachen, dann wird die Frage auch schnell gefunden und beantwortet.
Kai |
Sandra (Sandra)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 20:05: |
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Ich möchte gerne wissen, wie man den Cosinus Satz erechnet. Die Formel dafür habe ich. |
Sven
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 13:02: |
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Bitte bei neuen Fragen einen neuen Beitrag aufmachen. |
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